O vetor posição
(\overrightarrow{\mathrm{r}})
de uma partícula aponta no sentido positivo do eixo
(z
). Qual deve ser a direção e o sentido da força responsável pelo torque se o torque a que a partícula está submetida:
é zero?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O vetor posição da partícula é \overrightarrow{\mathrm{r}} e aponta no sentido positivo do eixo z.
O enunciado pede:
Qual deve ser a direção e o sentido da força \overrightarrow{\mathrm{F}} responsável pelo torque, se o torque a que a partícula está submetida é zero?
Passo 2
Definição útil (fórmula que vamos usar). O torque (momento) relativo à origem é definido por
\overrightarrow{r} é o vetor posição (do ponto de aplicação da força em relação à origem),
\overrightarrow{F} é a força aplicada,
\times é o produto vetorial (cross product).
Explicação do produto vetorial de forma didática: o produto vetorial entre dois vetores dá um vetor perpendicular ao plano formado por eles; a magnitude do produto vetorial é
onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{r} e \overrightarrow{F}. O produto vetorial é zero exatamente quando \sin\theta=0, isto é, quando \theta=0 ou \theta=\pi (vetores paralelos, mesmo sentido ou sentidos opostos), ou quando um dos vetores tem módulo zero.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso: queremos \overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{0}. Pelas fórmulas acima isso acontece quando
\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0} (força nula), ou
\overrightarrow{F} é paralela a \overrightarrow{r} (ângulo \theta=0 ou \theta=\pi), pois então \sin\theta=0.
Como o enunciado diz que \overrightarrow{r} aponta no sentido positivo do eixo z, temos um vetor posição do tipo
\overrightarrow{r}=(0,0,r),\quad r>0.
Passo 4
Agora fazemos um cálculo componente a componente para ver concretamente a condição. Seja \overrightarrow{F}=(F_x,F_y,F_z). O produto vetorial com \overrightarrow{r}=(0,0,r) é
Para que esse vetor seja o vetor nulo, as componentes devem ser zero, ou seja
-rF_y=0,\qquad rF_x=0.
Como r\neq 0 (vetor posição não nulo, aponta em +z), segue que F_x=0 e F_y=0. Não há restrição sobre F_z.
Passo 5
Interpretação prática e sentido físico (passo didático): as equações F_x=0 e F_y=0 significam que a força não pode ter componente nas direções x ou y; ela só pode ter componente ao longo do eixo z. Ou seja, a força deve estar colinear com \overrightarrow{r}. Isso inclui:
força no mesmo sentido de \overrightarrow{r} (sentido positivo de z, F_z>0);
força no sentido oposto (sentido negativo de z, F_z<0);
ou a própria força nula (F_z=0).
Geometricamente: quando a força é paralela (mesmo ou sentido contrário) ao vetor posição, o braço de alavanca efetivo é zero e o torque é zero.
Resposta
A força deve ter direção ao longo do eixo z (isto é, ser colinear a \overrightarrow{r}); o sentido pode ser o sentido positivo de z ou o sentido negativo de z. Alternativamente, a força pode ser nula.