O vetor posição
(\overrightarrow{\mathrm{r}})
de uma partícula aponta no sentido positivo do eixo
( z
). Qual deve ser a direção e o sentido da força responsável pelo torque se o torque a que a partícula está submetida:
é zero?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O vetor posição da partícula é \overrightarrow{\mathrm{r}} e aponta no sentido positivo do eixo z.
    O enunciado pede:
  • Qual deve ser a direção e o sentido da força \overrightarrow{\mathrm{F}} responsável pelo torque, se o torque a que a partícula está submetida é zero?

Passo 2

Definição útil (fórmula que vamos usar). O torque (momento) relativo à origem é definido por
\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{F},
onde:
  • \overrightarrow{\tau} é o vetor torque,
  • \overrightarrow{r} é o vetor posição (do ponto de aplicação da força em relação à origem),
  • \overrightarrow{F} é a força aplicada,
  • \times é o produto vetorial (cross product).
Explicação do produto vetorial de forma didática: o produto vetorial entre dois vetores dá um vetor perpendicular ao plano formado por eles; a magnitude do produto vetorial é
\|\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{F}\|=\|\overrightarrow{r}\|\,\|\overrightarrow{F}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{r} e \overrightarrow{F}. O produto vetorial é zero exatamente quando \sin\theta=0, isto é, quando \theta=0 ou \theta=\pi (vetores paralelos, mesmo sentido ou sentidos opostos), ou quando um dos vetores tem módulo zero.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso: queremos \overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{0}. Pelas fórmulas acima isso acontece quando
  • \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0} (força nula), ou
  • \overrightarrow{F} é paralela a \overrightarrow{r} (ângulo \theta=0 ou \theta=\pi), pois então \sin\theta=0.
Como o enunciado diz que \overrightarrow{r} aponta no sentido positivo do eixo z, temos um vetor posição do tipo
\overrightarrow{r}=(0,0,r),\quad r>0.

Passo 4

Agora fazemos um cálculo componente a componente para ver concretamente a condição. Seja \overrightarrow{F}=(F_x,F_y,F_z). O produto vetorial com \overrightarrow{r}=(0,0,r) é
\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 0 & r \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = (-rF_y)\,\mathbf{i} + (rF_x)\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.
Para que esse vetor seja o vetor nulo, as componentes devem ser zero, ou seja
-rF_y=0,\qquad rF_x=0.
Como r\neq 0 (vetor posição não nulo, aponta em +z), segue que F_x=0 e F_y=0. Não há restrição sobre F_z.

Passo 5

Interpretação prática e sentido físico (passo didático): as equações F_x=0 e F_y=0 significam que a força não pode ter componente nas direções x ou y; ela só pode ter componente ao longo do eixo z. Ou seja, a força deve estar colinear com \overrightarrow{r}. Isso inclui:
  • força no mesmo sentido de \overrightarrow{r} (sentido positivo de z, F_z>0);
  • força no sentido oposto (sentido negativo de z, F_z<0);
  • ou a própria força nula ( F_z=0).
Geometricamente: quando a força é paralela (mesmo ou sentido contrário) ao vetor posição, o braço de alavanca efetivo é zero e o torque é zero.

Resposta

A força deve ter direção ao longo do eixo z (isto é, ser colinear a \overrightarrow{r}); o sentido pode ser o sentido positivo de z ou o sentido negativo de z. Alternativamente, a força pode ser nula.

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