1. O vetor posição de uma partícula em certo instante é:
\overrightarrow{\mathrm{r} 1}=(-3 \mathrm{~m}) \mathrm{i}^{\wedge}+(2 \mathrm{~m}) \mathrm{j}^{\wedge}+(5 \mathrm{~m}) \mathrm{k}^{\wedge} \backslash v e c\{\mathrm{r}\} \_1=(-3 \backslash, \mathrm{~m}) \backslash \operatorname{hat}\{\mathrm{i}\}+(2 \backslash, \mathrm{~m}) \backslash \operatorname{hat}\{\mathrm{j}\}+(5 \backslash,
m) \backslash h a t\{k\} r 1=(-3 m) i^{\wedge}+(2 m) j^{\wedge}+(5 m) k^{\wedge}
Após alguns segundos, sua posição é:
\overrightarrow{\mathrm{r}} 2=(4 \mathrm{~m}) \mathrm{i}^{\wedge}+(-1 \mathrm{~m}) \mathrm{j}^{\wedge}+(-8 \mathrm{~m}) \mathrm{k}^{\wedge} \backslash \operatorname{vec}\{\mathrm{r}\} \_2=(4 \backslash, \mathrm{~m}) \backslash \operatorname{hat}\{\mathrm{i}\}+(-1 \backslash, \mathrm{~m}) \backslash hat \{\mathrm{j}\}+(-8 \backslash,
m) \backslash hat \{\mathrm{k}\} \mathrm{r} 2=(4 \mathrm{~m}) \mathrm{i}^{\wedge}+(-1 \mathrm{~m}) \mathrm{j}^{\wedge}+(-8 \mathrm{~m}) \mathrm{k}^{\wedge}
a) Determine o vetor deslocamento \Delta \overrightarrow{\mathrm{r}} \backslash Delta \backslash \operatorname{vec}\{\mathrm{r}\} \Delta \mathrm{r}.
b) Determine o módulo de \Delta \vec{r} \backslash Delta \backslash \operatorname{vec}\{r\} \Delta r.

Passo 1

O enunciado nos dá duas posições de uma partícula em três dimensões: \displaystyle \vec r_1 = (-3\,\mathrm m)\hat\imath + (2\,\mathrm m)\hat\jmath + (5\,\mathrm m)\hat k \displaystyle \vec r_2 = (4\,\mathrm m)\hat\imath + (-1\,\mathrm m)\hat\jmath + (-8\,\mathrm m)\hat k
E pede (a) o vetor deslocamento \Delta\vec r e (b) o módulo de \Delta\vec r. Para isso vamos subtrair componente a componente e depois aplicar a fórmula do módulo de um vetor em \mathbb R^3.

Passo 2

Definimos
\Delta\vec r \;=\;\vec r_2 - \vec r_1.
Fazendo a subtração em cada componente:
\Delta\vec r = \bigl(4 - (-3)\bigr)\,\hat\imath + \bigl(-1 - 2\bigr)\,\hat\jmath + \bigl(-8 - 5\bigr)\,\hat k = (7\,\mathrm m)\hat\imath + (-3\,\mathrm m)\hat\jmath + (-13\,\mathrm m)\hat k.

Passo 3

Para o módulo de \Delta\vec r usamos
\lvert \Delta\vec r\rvert = \sqrt{(7)^2 + (-3)^2 + (-13)^2}\,\mathrm m = \sqrt{49 + 9 + 169}\,\mathrm m = \sqrt{227}\,\mathrm m \approx 15{,}07\,\mathrm m.

Resposta

a) \displaystyle \Delta\vec r = (7\,\mathrm m)\hat\imath + (-3\,\mathrm m)\hat\jmath + (-13\,\mathrm m)\hat k
b) \displaystyle \lvert \Delta\vec r\rvert = \sqrt{227}\,\mathrm m \approx 15{,}07\,\mathrm m

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