O vetor-posição de uma partícula que se move em um plano XY é dada por:
em metros e
em segundos. Calcule o ângulo entre o vetor-velocidade e o vetor-aceleração no instante
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor-posição e pede o ângulo entre velocidade e aceleração no instante
.
Informações fornecidas (pegadas do enunciado):
- Vetor-posição
com
em metros e
em segundos.
- Instante onde calcular:
.
O que é pedido:
- Calcular o ângulo
entre o vetor-velocidade e o vetor-aceleração no instante .
Passo 2
Primeiro vamos obter as expressões de velocidade e aceleração derivando componente a componente. Regra usada: a derivada de
é
(regra do poder) e a derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função.
Componentes de
:
Derivando:
- Velocidade
:
- Aceleração
:
Pequena explicação didática: derivamos cada componente separadamente porque vetores dependentes do tempo se derivam componente a componente. O resultado são os vetores
e
.
Passo 3
Agora avaliamos
e
em
.
Substituindo
:
Logo
Logo
Observação motivadora: já temos os vetores no instante pedido — agora só falta encontrar o ângulo entre eles.
Passo 4
Fórmula para o ângulo entre dois vetores em
(ou
):
onde
-
é o produto escalar: , -
é a norma euclidiana (comprimento) de , -
é a norma de .
Vamos calcular passo a passo.
Produto escalar em
:
Calculemos cada termo:
Multiplicação detalhada (sem pular etapas):
Somando:
Passo 5
Normas (comprimentos) dos vetores em
.
Norma de
:
Aproximação da raiz:
Norma de
:
Aproximação da raiz:
Produto das normas (denominador da fórmula do cosseno):
Passo 6
Agora o cosseno do ângulo:
Como
é muito próximo de
, o ângulo é pequeno. Calculamos
por arccoseno:
Converter para graus (opcional, frequentemente pedido):
Passo 7
Resumo numérico com todas as etapas de contas feitas:
-
. -
. - Produto escalar:
. - Normas:
, . - Produto das normas
. -
.
Força final: é um ângulo pequeno — quase paralelos, e isso faz sentido porque as componentes das acelerações são proporcionais às de velocidade (mesmo sinal nas componentes maiores), então os vetores ficam bem alinhados. Vai dar certo na prova — respira fundo que é só cálculo direto.