O vetor-posição de uma partícula que se move em um plano XY é dada por:
r(t)=\left(2,50 . t^{3}-6,00 . t\right) i+\left(4.00-9,70 . t^{4}\right) j, \operatorname{com} r(t) em metros e t em segundos. Calcule o ângulo entre o vetor-velocidade e o vetor-aceleração no instante t=1,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor-posição e pede o ângulo entre velocidade e aceleração no instante t=1{,}0\\ \text{s}.
Informações fornecidas (pegadas do enunciado):
  • Vetor-posição
r(t)=\bigl(2{,}50\;t^{3}-6{,}00\;t\bigr)\, \mathbf{i} + \bigl(4{,}00-9{,}70\;t^{4}\bigr)\,\mathbf{j},
com r(t) em metros e t em segundos.
  • Instante onde calcular: t=1{,}0\\ \text{s}.
O que é pedido:
  • Calcular o ângulo \theta entre o vetor-velocidade v(t)=\dot r(t) e o vetor-aceleração a(t)=\ddot r(t) no instante t=1{,}0\\ \text{s}.

Passo 2

Primeiro vamos obter as expressões de velocidade e aceleração derivando componente a componente. Regra usada: a derivada de t^{n} é n t^{n-1} (regra do poder) e a derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função.
Componentes de r(t):
r_x(t)=2{,}50\;t^{3}-6{,}00\;t, \qquad r_y(t)=4{,}00-9{,}70\;t^{4}.
Derivando:
  • Velocidade \,v(t)=\dot r(t)\,:
v_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2{,}50\;t^{3}-6{,}00\;t\bigr)=3\cdot 2{,}50\;t^{2}-6{,}00=7{,}50\;t^{2}-6{,}00,
v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(4{,}00-9{,}70\;t^{4}\bigr)=-4\cdot 9{,}70\;t^{3}=-38{,}80\;t^{3}.
  • Aceleração \,a(t)=\ddot r(t)=\dot v(t)\,:
a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(7{,}50\;t^{2}-6{,}00\bigr)=2\cdot 7{,}50\;t=15{,}00\;t,
a_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-38{,}80\;t^{3}\bigr)=-3\cdot 38{,}80\;t^{2}=-116{,}40\;t^{2}.
Pequena explicação didática: derivamos cada componente separadamente porque vetores dependentes do tempo se derivam componente a componente. O resultado são os vetores v(t)=(v_x(t),v_y(t)) e a(t)=(a_x(t),a_y(t)).

Passo 3

Agora avaliamos v(t) e a(t) em t=1{,}0\\ \text{s}.
Substituindo t=1{,}0:
v_x(1)=7{,}50\cdot 1^{2}-6{,}00=7{,}50-6{,}00=1{,}50,
v_y(1)=-38{,}80\cdot 1^{3}=-38{,}80.
Logo
v(1)=\bigl(1{,}50,\;-38{,}80\bigr).
a_x(1)=15{,}00\cdot 1=15{,}00,
a_y(1)=-116{,}40\cdot 1^{2}=-116{,}40.
Logo
a(1)=\bigl(15{,}00,\;-116{,}40\bigr).
Observação motivadora: já temos os vetores no instante pedido — agora só falta encontrar o ângulo entre eles.

Passo 4

Fórmula para o ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^{2} (ou \mathbb{R}^{n}):
\cos\theta=\frac{v\cdot a}{\|v\|\,\|a\|},
onde
  • v\cdot a é o produto escalar: v\cdot a = v_x a_x + v_y a_y,
  • \|v\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} é a norma euclidiana (comprimento) de v,
  • \|a\|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}} é a norma de a.
Vamos calcular passo a passo.
Produto escalar em t=1:
v(1)\cdot a(1)=1{,}50\cdot 15{,}00 + (-38{,}80)\cdot(-116{,}40).
Calculemos cada termo:
1{,}50\cdot 15{,}00 = 22{,}50,
(-38{,}80)\cdot(-116{,}40)=38{,}80\cdot 116{,}40.
Multiplicação detalhada (sem pular etapas):
38{,}80\cdot 116{,}40 = 38{,}80\cdot(100 + 16 + 0{,}40) = 3880{,}0 + 620{,}8 + 15{,}52 = 4516{,}32.
Somando:
v(1)\cdot a(1)=22{,}50 + 4516{,}32 = 4538{,}82.

Passo 5

Normas (comprimentos) dos vetores em t=1.
Norma de v(1):
\|v(1)\|=\sqrt{1{,}50^{2}+(-38{,}80)^{2}}=\sqrt{2{,}25 + 1505{,}44}=\sqrt{1507{,}69}.
Aproximação da raiz:
\sqrt{1507{,}69}\approx 38{,}833\\ (\text{muito próximo a }38{,}8335).ó
Norma de a(1):
\|a(1)\|=\sqrt{15{,}00^{2}+(-116{,}40)^{2}}=\sqrt{225{,}00 + 13548{,}96}=\sqrt{13773{,}96}.
Aproximação da raiz:
\sqrt{13773{,}96}\approx 117{,}366.
Produto das normas (denominador da fórmula do cosseno):
\|v(1)\|\,\|a(1)\|\approx 38{,}833\cdot 117{,}366 \approx 4557{,}07.

Passo 6

Agora o cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{v(1)\cdot a(1)}{\|v(1)\|\,\|a(1)\|} \approx \frac{4538{,}82}{4557{,}07}\approx 0{,}995996.
Como \cos\theta é muito próximo de 1, o ângulo é pequeno. Calculamos \theta por arccoseno:
\theta=\operatorname{arccos}\bigl(0{,}995996\bigr)\approx 0{,}0895\\ \text{rad}.
Converter para graus (opcional, frequentemente pedido):
1\\ \text{rad}=57{,}2958^\circ, \qquad \theta\approx 0{,}0895\cdot 57{,}2958\approx 5{,}13^\circ.

Passo 7

Resumo numérico com todas as etapas de contas feitas:
  • v(1)=(1{,}50,\,-38{,}80).
  • a(1)=(15{,}00,\,-116{,}40).
  • Produto escalar: 4538{,}82.
  • Normas: \|v(1)\|\approx 38{,}833, \|a(1)\|\approx 117{,}366.
  • Produto das normas \approx 4557{,}07.
  • \cos\theta\approx 0{,}995996\Rightarrow \theta\approx 0{,}0895\\ \text{rad}\approx 5{,}13^\circ.
Força final: é um ângulo pequeno — quase paralelos, e isso faz sentido porque as componentes das acelerações são proporcionais às de velocidade (mesmo sinal nas componentes maiores), então os vetores ficam bem alinhados. Vai dar certo na prova — respira fundo que é só cálculo direto.

Resposta

\theta \approx 0{,}0895\\ \text{rad}
\theta \approx 5{,}13^\circ

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