Problema #2:
Ache a série de Fourier da função periódica com período T=4 que sobre o intervalo [-2,2] é definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 1-x, & \text { se } & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 1+x, & \text { se } & -2 \leq x \leq 0 \end{array}\right.
Use a identidade de Parseval para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96} .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é periódica de período T=4\) e, no intervalo fundamental \([-2,2]\), é \[f(x)=\begin{cases} 1-x, & 0\le x\le 2,\\[4pt] 1+x, & -2\le x\le 0. \end{cases}
  • O enunciado pede: (i) achar a série de Fourier dessa função; (ii) usar a identidade de Parseval para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96}.
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Período T=4\] implica que o semiperíodo é \(L=2 (ou seja, estamos no caso padrão de período 2L com L=2).
  • A expansão em série de Fourier para período 2L tem a forma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_{n}\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)+b_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\Big),
com coeficientes
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\,dx.
  • A identidade de Parseval (para essa normalização) é
\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)^{2}\,dx=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\big).]

Passo 2

Observação de simetria (muito útil para simplificar cálculos).
  • Verifico f(-x) para x\in[0,2]: f(-x)=1+(-x)=1-x. Mas para x\in[0,2] temos f(x)=1-x. Logo f(-x)=f(x). Portanto f é uma função par.
  • Consequência prática: todos os b_{n} (coeficientes das senos) são zero. Além disso, nas integrais para a_{n} posso integrar só de 0 a 2 e dobrar quando conveniente.
  • Aqui L=2, então as funções ortogonais usam \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big).

Passo 3

Calcular a_{0}.
Usando a fórmula com L=2:
a_{0}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx.
Como f é par,
a_{0}=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{2}(1-x)\,dx=\int_{0}^{2}(1-x)\,dx.
Faço a integral:
\int_{0}^{2}(1-x)\,dx=\Big[x-\tfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{2}=2-\tfrac{4}{2}=2-2=0.
Portanto a_{0}=0. Isso significa que a série não tem termo constante.

Passo 4

Calcular a_{n} para n\ge1.
Fórmula com L=2:
a_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big)\,dx.
Como f é par e o cosseno também é par, isso vira
a_{n}=\int_{0}^{2}(1-x)\cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big)\,dx.
Vou calcular essa integral geral. Defina \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. Então precisamos de
I_{n}=\int_{0}^{2}(1-x)\cos(\alpha x)\,dx.
Faço integração por partes: ponha u=1-x (então du=-dx) e dv=\cos(\alpha x)\,dx (então v=\tfrac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)). Assim
I_{n}=(1-x)\cdot\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Big|_{0}^{2}+\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{2}\sin(\alpha x)\,dx.
Avalio o primeiro termo:
(1-2)\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha}-(1-0)\frac{\sin(0)}{\alpha}=-\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha}.
O segundo termo:
\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{2}\sin(\alpha x)\,dx=\frac{1}{\alpha}\Big[-\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha}\Big]_{0}^{2}=\frac{1}{\alpha^{2}}\big(1-\cos(2\alpha)\big).
Somando,
I_{n}=-\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}\big(1-\cos(2\alpha)\big).
Agora uso \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. Note que \sin(2\alpha)=\sin(n\pi)=0 e \cos(2\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. Assim a expressão simplifica para
I_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{\alpha^{2}}.
Portanto
a_{n}=I_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{\alpha^{2}}.

Passo 5

Interpretar o resultado de a_{n} e escrever explicitamente os coeficientes não nulos.
  • Se n é par então (-1)^{n}=1 e a_{n}=0.
  • Se n é ímpar, escreva n=2k+1. Nesse caso (-1)^{n}=-1 e
a_{2k+1}=\frac{2}{\alpha^{2}}\quad\text{com}\quad \alpha=\frac{(2k+1)\pi}{2}.
Logo
a_{2k+1}=\frac{2}{\big(\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\big)^{2}}=\frac{8}{(2k+1)^{2}\pi^{2}}.
Portanto a série de Fourier (somente cossenos de índices ímpares) é
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^{2}\pi^{2}}\cos\!\big(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\big).

Passo 6

Apresentar a identidade de Parseval que vou usar e aplicar ao caso.
A identidade de Parseval (com L=2) diz
\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)^{2}\,dx=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\big).
Já sabemos a_{0}=0 e b_{n}=0 para todo n. Assim aqui ela reduz para
\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)^{2}\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}.

Passo 7

Calcular o lado esquerdo de Parseval: \tfrac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)^{2}\,dx.
Como f é par,
\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)^{2}\,dx=\int_{0}^{2}(1-x)^{2}\,dx.
Faço a integral:
\int_{0}^{2}(1-x)^{2}\,dx=\int_{0}^{2}(1-2x+x^{2})\,dx=\Big[x-x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=2-4+\tfrac{8}{3}=-2+\tfrac{8}{3}=\tfrac{2}{3}.
Logo o lado esquerdo vale \tfrac{2}{3}.

Passo 8

Calcular o lado direito de Parseval com os a_{n} que encontramos.
Sabemos que apenas os a_{2k+1} são não nulos e
a_{2k+1}=\frac{8}{(2k+1)^{2}\pi^{2}}.
Então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}^{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{64}{(2k+1)^{4}\pi^{4}}=\frac{64}{\pi^{4}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{4}}.

Passo 9

Igualar os dois lados e resolver para a soma desejada.
Da identidade de Parseval obtivemos
\frac{2}{3}=\frac{64}{\pi^{4}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{4}}.
Isolando a soma:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{4}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi^{4}}{64}=\frac{\pi^{4}}{96}.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96}

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