Problema #1:
Ache a série de Fourier da função periódica de período
definido em
por
. Use a identidade de Parseval para verificar que
Ache a série de Fourier da função periódica de período
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período
definida em
por
. As perguntas são:
- Achar a série de Fourier dessa função (no intervalo de período dado).
- Usar a identidade de Parseval para verificar que
.
Informações relevantes fornecidas:
- Período
, logo . - Função explícita em
: . - Observação útil (que pode ser vista ao olhar
): é par (pois depende de ), então a série terá apenas termos em cosseno (os coeficientes serão ).
Passo 2
Vamos escrever a forma geral da série de Fourier para funções de período
com
. A série tem a forma
Aqui:
-
. - Os coeficientes são dados por
e
Como
é par e
também é par, teremos
e podemos simplificar as integrais usando simetria:
.
Passo 3
Calcular
. Usando
com
:
Calcule a integral:
Portanto
e o termo constante da série é
.
Passo 4
Calcular
para
. Com
,
Pelo paridade (produto de páres), isto reduz a
onde, por conveniência, definimos
. Vamos calcular
e depois usaremos
.
Passo 5
Calcular
. Separe em duas integrais:
Primeira integral:
Segunda integral: use integração por partes duas vezes. Para
, seja
,
. Então
,
. Obtemos a primitiva
Agora calcule
por partes: com
,
dá
Voltando,
Avalie de
a
:
No
todos os termos são zero exceto o termo com
multiplicado por
que também é zero; logo só o valor em
conta:
Passo 6
Agora volte a
:
Simplificando,
Lembre-se que
, então
. Assim
e
. Portanto
Então
Substituindo
resulta
Como
, a série de Fourier (válida para todos os
, ponto a ponto onde
é contínua) fica
Passo 7
Agora usamos a identidade de Parseval. Para séries de Fourier com
(isto é, período
), a forma de Parseval é
Aqui
e
. Logo
Passo 8
Calcule o lado esquerdo
. Como
é par
Calcule a integral:
Avalie:
Portanto o lado esquerdo vale
.
Passo 9
Calcule o lado direito: já temos
então
Também temos
(o sinal
some ao elevar ao quadrado). Assim
Pelo Parseval,
Isolando a soma,
Logo