Questão 1: Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se
então
Se
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
- Afirmação: “Se
então .”
Informações dadas:
- Está assumido que
e são vetores (em , por exemplo). - A hipótese é
. - A conclusão a verificar é se
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa
. Por definição, dois vetores são iguais quando todos os seus componentes são iguais. Ou seja, se
e
, então
Essa é a forma mais direta e elementar de ver igualdade de vetores — eles coincidem componente a componente.
Passo 3
Definimos o comprimento (norma) de um vetor
por
Outra forma equivalente é usar o produto interno:
Importante: a norma é sempre um número não negativo e é determinada unicamente pelas componentes do vetor.
Passo 4
Agora aplicamos as definições à hipótese
. Como
para todo
, temos
Tirando raiz quadrada (lembrando que ambos os lados são não negativos), obtemos
ou seja,
Alternativamente, usando produto escalar,
Passo 5
Conclusão e dica para prova: a afirmação é verdadeira. A razão prática para lembrar na hora da prova é simples — igualdade de vetores significa igualdade de cada componente, e a norma é uma função que depende só das componentes; portanto vetores iguais têm necessariamente a mesma norma. Observação extra (útil em provas): a recíproca não vale — vetores com mesma norma podem ser diferentes (por exemplo
e
têm
mas
).
Resposta
Verdadeira.