Questão 1: Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
Se \vec{u}=\vec{v} então |\vec{u}|=|\vec{v}|

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa:
  • Afirmação: “Se \vec{u}=\vec{v} então |\vec{u}|=|\vec{v}|.”
Informações dadas:
  • Está assumido que \vec{u} e \vec{v} são vetores (em \mathbb{R}^n, por exemplo).
  • A hipótese é \vec{u}=\vec{v}.
  • A conclusão a verificar é se |\vec{u}|=|\vec{v}|.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \vec{u}=\vec{v}. Por definição, dois vetores são iguais quando todos os seus componentes são iguais. Ou seja, se \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n) e \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n), então
\vec{u}=\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u_i=v_i\\ \text{ para todo } i=1,2,\dots,n.
Essa é a forma mais direta e elementar de ver igualdade de vetores — eles coincidem componente a componente.

Passo 3

Definimos o comprimento (norma) de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,\dots,w_n) por
|\vec{w}|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+\dots+w_n^2}.
Outra forma equivalente é usar o produto interno:
|\vec{w}|=\sqrt{\vec{w}\cdot\vec{w}}.
Importante: a norma é sempre um número não negativo e é determinada unicamente pelas componentes do vetor.

Passo 4

Agora aplicamos as definições à hipótese \vec{u}=\vec{v}. Como u_i=v_i para todo i, temos
u_1^2+u_2^2+\dots+u_n^2 = v_1^2+v_2^2+\dots+v_n^2.
Tirando raiz quadrada (lembrando que ambos os lados são não negativos), obtemos
\sqrt{u_1^2+\dots+u_n^2}=\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2},
ou seja,
|\vec{u}|=|\vec{v}|.
Alternativamente, usando produto escalar,
\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{v}\quad\Rightarrow\quad|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=|\vec{v}|.

Passo 5

Conclusão e dica para prova: a afirmação é verdadeira. A razão prática para lembrar na hora da prova é simples — igualdade de vetores significa igualdade de cada componente, e a norma é uma função que depende só das componentes; portanto vetores iguais têm necessariamente a mesma norma. Observação extra (útil em provas): a recíproca não vale — vetores com mesma norma podem ser diferentes (por exemplo \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(-1,0) têm |\vec{u}|=|\vec{v}|=1 mas \vec{u}\neq\vec{v}).

Resposta

Verdadeira.

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