Os vetores A e B estão no plano x y. A tem módulo 8,00 e ângulo 130^circ ; B tem componentes Bx=-7,72 e By=-9,20. Determine os ângulos entre o semi-eixo y negativo e (a) o vetor A, (b) o vetor A times B e (c) o vetor A times(B+3,00 k).
Resposta: (a) theta=140^circ; (b) 90^circ; (c) 99,1^circ.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores no plano xy: A com |A|=8,00 e direção de 130^circ a partir do eixo x positivo, e B com componentes Bx=-7,72 e By=-9,20. Queremos o ângulo entre o semi-eixo y negativo (vetor -hatjmath) e
(a) A,
(b) AtimesB,
(c) Atimes(B+3,00,hat k).
Usaremos produto escalar para calcular ângulos e produto vetorial para obter as componentes dos vetores em 3D.

Passo 2

Para o item (a), representamos
hat u=-hatjmath=(0,-1,0) e
hat v=hat A=(cos130^circ,;sin130^circ,;0).
O cosseno do ângulo entre eles é
costheta = hat ucdothat v = (0,-1,0)cdot(cos130^circ,sin130^circ,0) = -sin130^circ
Como sin130^circ=sin50^circapprox0,7660, temos
costheta=-0,7660 Longrightarrow theta=arccos(-0,7660)=140^circ

Passo 3

Para o item (b), note que A e B têm apenas componentes em x e y, logo
AtimesB=(0,0,AxBy - AyBx)
é paralelo ao eixo z. Qualquer vetor paralelo a hat k é perpendicular a -hatjmath, então o ângulo entre eles é
theta=90^circ

Passo 4

Para o item (c), definimos B'=B+3,00,hat k=(-7,72,,-9,20,,3,00).
Escrevemos A=(Ax,Ay,0) com
Ax=8,00cos130^circapprox -5,143, Ay=8,00sin130^circapprox 6,128
Calculamos C=AtimesB':
Cx = Aycdot3,00 approx 18,384, Cy = -Axcdot3,00 approx 15,427, Cz = AxBy - AyBx approx 94,597
O ângulo com -hatjmath vem de
costheta = Ccdot(-hatjmath)|C| = -CyraizCx^2 + Cy^2 + Cz^2 approx -15,42797,60 approx -0,1581,
portanto
theta=arccos(-0,1581)approx99,1^circ.

Resposta

(a) theta=140^circ
(b) theta=90^circ
(c) theta=99,1^circ

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