4 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que o campo gravitacional da Terra se reduz em aproximadamente 1 % em relação ao valor medido na superfície, quando considerado a uma altura de cerca de 32 km acima do solo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo gravitacional da Terra diminui em cerca de 1,% a 32 km de altitude. O conteúdo que vamos usar é a Lei da Gravitação Universal de Newton e a dependência 1/r^2 da aceleração da gravidade com a distância ao centro da Terra.

Passo 2

Na superfície da Terra, a aceleração da gravidade é
g0 ;=;G,MR^2,
onde G é a constante gravitacional, M é a massa da Terra e R o raio médio da Terra.

Passo 3

A uma altitude h=32 km acima do solo, a distância ao centro da Terra passa a ser R+h, e a aceleração gravitacional vale
g(h) ;=;G,Ml(R+hr)^2

Passo 4

Para comparar com g0, formamos a razão
g(h)g0 =G,M/(R+h)^2G,M/R^2 =l(RR+hr)^2

Passo 5

Substituindo Rapprox6,37times10^6 m e h=32times10^3 m,
g(h)g0 =l(6,37times10^66,37times10^6+3,2times10^4r)^2 =l(6,376,402r)^2 approxl(1 - hRr)^2
Como h/Rapprox32/6370approx0,005, usamos a expansão de primeira ordem
(1 - tfrachR)^2approx1 - 2,hR approx1 - 2times0,005 =0,99

Passo 6

Logo,
g(h)g0approx0,99,
ou seja, g(h)approx0,99,g0. A redução relativa é
1 - g(h)g0approx1 - 0,99=0,01=1,%

Resposta

A 32 km de altitude, o campo gravitacional da Terra é cerca de 1,% menor do que o valor na superfície.

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