Para os vetores u, v, w \in \mathbb{R}^{3} de cada item abaixo,
а) u=(1,1,1), v=(2,3,1) e w=(-2,1,1);
b) u=(1,2,1), v=(1,-1,1) e w=(1,5,1);
c) u=(-1,5,2), v=(3,-2,7) e w=(-8,14,-10);
resolva os seguintes itens:
(i) encontre o sistema linear homogêneo determinado pela combinação linear
a u+b v+c w=0
(ii) estude o conjunto-solução do sistema obtido em (i) para determinar se os vetores u, v e w são linearmente independentes ou linearmente dependentes;
(iii) escreva o sistema obtido em (i) na forma matricial e observe a matriz dos coeficientes. Qual a relação entre a matriz e os vetores dados?
Passo 1
O enunciado dá três tripletas de vetores em \mathbb{R}^3 e pede, para cada tripleta (u,v,w):
Montar o sistema homogêneo
a\,u+b\,v+c\,w=0
Resolver e concluir se há só a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0) (independência) ou soluções não triviais (dependência).
Escrever o sistema na forma matricial e observar que a matriz de coeficientes tem como colunas exatamente os vetores u,v,w.
(a) Os vetores são linearmente independentes.
(b) Os vetores são linearmente dependentes, com solução geral (a,b,c)=(-2t,t,t) e relação -2u+v+w=0.
(c) Os vetores são linearmente dependentes, com solução geral (a,b,c)=(-2t,2t,t) e relação -2u+2v+w=0.
Em cada caso a matriz de coeficientes do sistema homogêneo tem como colunas exatamente os vetores u,v,w.