Para os vetores u, v, w \in \mathbb{R}^{3} de cada item abaixo,
а) u=(1,1,1), v=(2,3,1) e w=(-2,1,1);
b) u=(1,2,1), v=(1,-1,1) e w=(1,5,1);
c) u=(-1,5,2), v=(3,-2,7) e w=(-8,14,-10);
resolva os seguintes itens:
(i) encontre o sistema linear homogêneo determinado pela combinação linear
a u+b v+c w=0
(ii) estude o conjunto-solução do sistema obtido em (i) para determinar se os vetores u, v e w são linearmente independentes ou linearmente dependentes;
(iii) escreva o sistema obtido em (i) na forma matricial e observe a matriz dos coeficientes. Qual a relação entre a matriz e os vetores dados?

Passo 1

O enunciado dá três tripletas de vetores em \mathbb{R}^3 e pede, para cada tripleta (u,v,w):
  1. Montar o sistema homogêneo
a\,u+b\,v+c\,w=0
  1. Resolver e concluir se há só a solução trivial (a,b,c)=(0,0,0) (independência) ou soluções não triviais (dependência).
  2. Escrever o sistema na forma matricial e observar que a matriz de coeficientes tem como colunas exatamente os vetores u,v,w.

Passo 2

Para o caso (a),
u=(1,1,1),\quad v=(2,3,1),\quad w=(-2,1,1),
a combinação linear
a\,u+b\,v+c\,w=(0,0,0)
gera o sistema
\begin{cases} a+2b-2c=0,\\[6pt] a+3b+c=0,\\[6pt] a+b+c=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação das segunda e terceira:
\begin{cases} a+2b-2c=0,\\\ \phantom{a{}}+\,b+3c=0,\\\ \phantom{a{}}-\,b+3c=0. \end{cases}
Somando as duas últimas dá 6c=0\implies c=0. De volta em b+3c=0 vem b=0 e em a+2b-2c=0 vem a=0. Há só a solução trivial.]

Passo 3

Logo em (a) os vetores são linearmente independentes. A forma matricial é
\begin{pmatrix} 1&2&-2\\\\ 1&3&1\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
e essa matriz tem colunas iguais a u,v,w.

Passo 4

Para o caso (b),
u=(1,2,1),\quad v=(1,-1,1),\quad w=(1,5,1),
o sistema
a\,u+b\,v+c\,w=0
é
\begin{cases} a+b+c=0,\\[3pt] 2a-b+5c=0,\\[3pt] a+b+c=0. \end{cases}
Repare que a primeira e a terceira equações coincidem. Da primeira vem a= -b-c. Substituindo em 2a-b+5c=0:
2(-b-c)-b+5c=0\quad\Longrightarrow\quad -3b+3c=0\quad\Longrightarrow\quad b=c.
Então a=-2c. Há infinitas soluções não triviais (a,b,c)=(-2t,t,t).]

Passo 5

Logo em (b) os vetores são linearmente dependentes, com relação de dependência
-2\,u+1\,v+1\,w=0.
A forma matricial é
\begin{pmatrix} 1&1&1\\\\ 2&-1&5\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
cujos colunas são u,v,w.

Passo 6

Para o caso (c),
u=(-1,5,2),\quad v=(3,-2,7),\quad w=(-8,14,-10),
o sistema
a\,u+b\,v+c\,w=0
é
\begin{cases} -\,a+3b-8c=0,\\[3pt] 5a-2b+14c=0,\\[3pt] 2a+7b-10c=0. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por -1 e eliminando em seguida de forma análoga ao item (a), chega-se a
b=2c,\quad a=-2c,
portanto soluções (a,b,c)=(-2t,2t,t)\neq(0,0,0).]

Passo 7

Logo em (c) há dependência linear, com relação
-2\,u+2\,v+1\,w=0.
O sistema em forma matricial é
\begin{pmatrix} -1&3&-8\\\\ 5&-2&14\\\\ 2&7&-10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
cuja matriz de coeficientes tem colunas u,v,w.

Resposta

(a) Os vetores são linearmente independentes.
(b) Os vetores são linearmente dependentes, com solução geral (a,b,c)=(-2t,t,t) e relação -2u+v+w=0.
(c) Os vetores são linearmente dependentes, com solução geral (a,b,c)=(-2t,2t,t) e relação -2u+2v+w=0.
Em cada caso a matriz de coeficientes do sistema homogêneo tem como colunas exatamente os vetores u,v,w.

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