4[1,0] Seja a base ortonormal E=\left\{\widehat{e}_{1}, \widehat{e}_{2}\right\}.
(a) Determine a situação de dependência ou independência linear dos conjuntos
expresso na base E, determine suas coordenadas em termos da base determinada no item (a), e verifique se o ordenamento da nova base é dextrógiro ou levógiro.
Passo 1
O enunciado define uma base ortonormal E=\{\widehat e_1,\widehat e_2\} e dois conjuntos de vetores
Parte (a): decidir independência linear de F e de G. Parte (b): usando o conjunto que é base, expressar \vec v=(4,1) nessa base e verificar se ela é dextrógira ou levógira.
Passo 2
Para F, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de \overrightarrow f_1 e \overrightarrow f_2 em E:
Note que a segunda coluna é -2 vezes a primeira, logo \det M_G=0. Portanto \vec g_1 e \vec g_2 são linearmente dependentes.
Passo 4
Concluímos que F é linearmente independente e, por viver em \mathbb R^2, forma base. Já G é dependente, logo não forma base.
Passo 5
Para expressar \vec v=4\widehat e_1+1\widehat e_2\) na base \(F\), escrevemos
\[\vec v = a\,\overrightarrow f_1 + b\,\overrightarrow f_2
com \overrightarrow f_1=(1,1) e \overrightarrow f_2=(2,-1). Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 2b = 4,\\\ a - b = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem a=1+b\]. Substituindo na primeira:
\[(1+b)+2b=4\implies3b=3\implies b=1,\quad a=2.\]
Portanto, as coordenadas de \(\vec v na base F são (2,1).
Passo 6
A orientação da base F em relação a E é dada pelo sinal de \det M_F. Como \det M_F=-3<0, a base F é levógira.
Resposta
(a) F é linearmente independente e G é linearmente dependente.
(b) As coordenadas de \vec v na base F são (2,1) e essa base é levógira.