4[1,0] Seja a base ortonormal E=\left\{\widehat{e}_{1}, \widehat{e}_{2}\right\}.
(a) Determine a situação de dependência ou independência linear dos conjuntos
F=\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{f_{1}}=\widehat{e}_{1}+\widehat{e}_{2} \\\ \overrightarrow{f_{2}}=2 \widehat{e}_{1}-\widehat{e}_{2} \end{array}\right.
e
G=\left\{\begin{array}{l} \vec{g}_{1}=\widehat{e}_{1}-3 \widehat{e}_{2} \\\ \vec{g}_{2}=-2 \widehat{e}_{1}+6 \widehat{e}_{2} . \end{array}\right.
(b) Dado o vetor
\vec{v}=(4,1)
expresso na base E, determine suas coordenadas em termos da base determinada no item (a), e verifique se o ordenamento da nova base é dextrógiro ou levógiro.

Passo 1

O enunciado define uma base ortonormal E=\{\widehat e_1,\widehat e_2\} e dois conjuntos de vetores
F=\{\overrightarrow f_1,\overrightarrow f_2\},\quad \overrightarrow f_1=\widehat e_1+\widehat e_2,\;\; \overrightarrow f_2=2\widehat e_1-\widehat e_2,
G=\{\vec g_1,\vec g_2\},\quad \vec g_1=\widehat e_1-3\widehat e_2,\;\; \vec g_2=-2\widehat e_1+6\widehat e_2.
Parte (a): decidir independência linear de F e de G. Parte (b): usando o conjunto que é base, expressar \vec v=(4,1) nessa base e verificar se ela é dextrógira ou levógira.

Passo 2

Para F, montamos a matriz cujas colunas são as coordenadas de \overrightarrow f_1 e \overrightarrow f_2 em E:
M_F=\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det M_F = 1\cdot(-1) - 2\cdot1 = -3 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, \overrightarrow f_1 e \overrightarrow f_2 são linearmente independentes.

Passo 3

Para G, a matriz correspondente é
M_G=\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -3 & 6 \end{pmatrix}.
Note que a segunda coluna é -2 vezes a primeira, logo \det M_G=0. Portanto \vec g_1 e \vec g_2 são linearmente dependentes.

Passo 4

Concluímos que F é linearmente independente e, por viver em \mathbb R^2, forma base. Já G é dependente, logo não forma base.

Passo 5

Para expressar \vec v=4\widehat e_1+1\widehat e_2\) na base \(F\), escrevemos \[\vec v = a\,\overrightarrow f_1 + b\,\overrightarrow f_2
com \overrightarrow f_1=(1,1) e \overrightarrow f_2=(2,-1). Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 2b = 4,\\\ a - b = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem a=1+b\]. Substituindo na primeira: \[(1+b)+2b=4\implies3b=3\implies b=1,\quad a=2.\] Portanto, as coordenadas de \(\vec v na base F são (2,1).

Passo 6

A orientação da base F em relação a E é dada pelo sinal de \det M_F. Como \det M_F=-3<0, a base F é levógira.

Resposta

(a) F é linearmente independente e G é linearmente dependente.
(b) As coordenadas de \vec v na base F são (2,1) e essa base é levógira.

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