Para isso, vamos usar coordenadas vetoriais: atribuímos a A, B e C os vetores posição \vec a, \vec b e \vec c.
Passo 2
Como M, N e P são pontos médios, seus vetores posição são
\vec m = \frac{\vec a + \vec b}{2}
\vec n = \frac{\vec a + \vec c}{2}
\vec p = \frac{\vec b + \vec c}{2}.
Passo 3
Escrevemos cada um dos vetores que aparecem na soma em função de \vec a, \vec b, \vec c:
\overrightarrow{AP} = \vec p - \vec a,\quad \overrightarrow{BN} = \vec n - \vec b,\quad \overrightarrow{CM} = \vec m - \vec c.
Passo 4
Somando-os, obtemos
\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CM} = (\vec p + \vec n + \vec m) - (\vec a + \vec b + \vec c).
Mas
\vec p + \vec n + \vec m = \frac{\vec b + \vec c}{2} + \frac{\vec a + \vec c}{2} + \frac{\vec a + \vec b}{2} = \frac{2\vec a + 2\vec b + 2\vec c}{2} = \vec a + \vec b + \vec c,
logo toda a soma cai em
(\vec a + \vec b + \vec c) - (\vec a + \vec b + \vec c) = \vec 0.