Os vetores u_{1}=(1,-2) e u_{2}=(4,-7) formam uma base S de \mathbb{R}^{2}. Encontre o vetor coordenadas de v=(5,3) em relação à base S .

Passo 1

O enunciado dá os vetores u_{1}=(1,-2) e u_{2}=(4,-7), que formam a base S de \mathbb{R}^{2}. Também dá o vetor v=(5,3).
A pergunta é: encontrar o vetor de coordenadas de v em relação à base S (ou seja, os escalares que expressam v como combinação linear de u_{1} e u_{2}).

Passo 2

O que significa escrever o vetor de coordenadas de v na base S?
Significa encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha u_{1} + \beta u_{2} = v.
Aqui \alpha corresponde à coordenada de v na direção de u_{1} e \beta corresponde à coordenada na direção de u_{2}. No final, o vetor coordenadas será \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} (ordem respeitando u_{1},u_{2}).]

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente, substituindo u_{1}\), \(u_{2}\) e \(v\): \[\alpha(1,-2)+\beta(4,-7)=(5,3).
Isto gera um sistema de duas equações (uma por componente):
\begin{cases} \alpha + 4\beta = 5,\\[4pt] -2\alpha -7\beta = 3. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para encontrar \alpha\] e \(\beta.]

Passo 4

Resolvendo por eliminação: multiplico a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de \alpha:
2\alpha + 8\beta = 10.
Agora somo essa equação com a segunda equação -2\alpha -7\beta = 3. A soma elimina \alpha:
(2\alpha-2\alpha) + (8\beta-7\beta) = 10 + 3 \quad\Rightarrow\quad \beta = 13.

Passo 5

Com \beta=13, volto à primeira equação \alpha + 4\beta = 5 para achar \alpha:
\alpha + 4\cdot 13 = 5 \quad\Rightarrow\quad \alpha + 52 = 5 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 5-52 = -47.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: os coeficientes encontrados são \alpha=-47 e \beta=13. Verifico somando as combinações:
-47(1,-2)+13(4,-7)=(-47,94)+(52,-91)=(5,3)=v,
então está correto. Logo o vetor de coordenadas de v na base S é \begin{pmatrix}-47\\[4pt]13\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}-47\\[4pt]13\end{pmatrix}]

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