Entre os vetores v1, v2, v3 e v4, quais pares são ortogonais?
u1=[r 1 2 -2 1 ], u2=[l 4 0 4 0 ], u3=[r 1 -1 -1 -1 ], u4=[l 1 1 1 1 ]

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
u1=12-21, u2=4040, u3=1-1-1-1, u4=1111
Queremos identificar os pares (ui,uj) tais que são ortogonais, ou seja, têm produto escalar zero. Usaremos a definição
lang<= u,vrang<= = sumk=1^4uk,vk,
e verificaremos para cada par.

Passo 2

Calculemos lang<= u1,ujrang<= para j=2,3,4:
lang<= u1,u2rang<= =1cdot4 + 2cdot0 + (-2)cdot4 + 1cdot0 =4 + 0 -8 + 0 = -4neq0;
lang<= u1,u3rang<= =1cdot1 + 2cdot(-1) + (-2)cdot(-1) + 1cdot(-1) =1 -2 +2 -1 = 0;
lang<= u1,u4rang<= =1cdot1 + 2cdot1 + (-2)cdot1 + 1cdot1 =1 +2 -2 +1 = 2neq0
Logo, u1 é ortogonal apenas a u3.

Passo 3

Agora lang<= u2,ujrang<= para j=3,4:
lang<= u2,u3rang<= =4cdot1 + 0cdot(-1) + 4cdot(-1) + 0cdot(-1) =4 + 0 -4 + 0 = 0;
lang<= u2,u4rang<= =4cdot1 + 0cdot1 + 4cdot1 + 0cdot1 =4 + 0 +4 + 0 = 8neq0
Portanto, u2 é ortogonal apenas a u3.

Passo 4

Falta verificar o par (u3,u4):
lang<= u3,u4rang<= =1cdot1 + (-1)cdot1 + (-1)cdot1 + (-1)cdot1 =1 -1 -1 -1 = -2neq0
Logo, u3 e u4 não são ortogonais.

Resposta

Os únicos pares ortogonais são
(u1,u3) e (u2,u3)

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