Demonstre que as linhas A B e C D são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos.
Passo 1
O enunciado dá os vetores posição (do ponto até a origem) dos pontos A,B,C,D e pede duas coisas: demonstrar que as retas AB e CD são paralelas e encontrar a razão entre os comprimentos desses segmentos. As informações fornecidas são:
sendo que anotei \mathbf{D}=(0,-1,1) porque \mathbf{D}=\mathbf{k}-\mathbf{j} (ou seja, coordenadas (0,-1,1)).
A tarefa é: (i) mostrar AB e CD são paralelas; (ii) achar a razão entre |AB| e |CD|.
Passo 2
Primeiro precisamos obter o vetor diretor do segmento AB. Regra usada: se \mathbf{X} e \mathbf{Y} são os vetores posição de dois pontos X e Y, então o vetor que vai de X a Y é
\overrightarrow{XY}=\mathbf{Y}-\mathbf{X}.
Isto vem da subtração componente a componente: a diferença das coordenadas dá a direção e o sentido do segmento. Aplicando para A\to B:
\overrightarrow{AB}=\mathbf{B}-\mathbf{A}.
Agora calculemos componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(2-1,\;3-1,\;0-1)=(1,2,-1).
Expliquei cada subtração: primeira componente 2-1=1, segunda 3-1=2, terceira 0-1=-1.
Passo 3
Agora o vetor diretor do segmento CD é
\overrightarrow{CD}=\mathbf{D}-\mathbf{C}.
Subtraindo componente a componente usando \mathbf{D}=(0,-1,1) (da imagem do enunciado) e \mathbf{C}=(3,5,-2):
Fato importante (critério de paralelismo): dois vetores não-nulos são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Como \overrightarrow{CD} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB} (escala -3), concluímos que as retas AB e CD são paralelas. O sinal negativo indica que têm sentidos opostos (vetores apontam em direções opostas), mas continuam paralelos.
Passo 5
Agora calculamos os comprimentos (normas) para obter a razão. A norma de um vetor (x,y,z) é dada por
Como \overrightarrow{CD}=-3\,\overrightarrow{AB}, a norma satisfaz \|\overrightarrow{CD}\|=|{-3}|\;\|\overrightarrow{AB}\|=3\|\overrightarrow{AB}\|. Logo
\|\overrightarrow{CD}\|=3\sqrt{6}.
Passo 6
Da relação acima segue a razão entre os comprimentos:
Em notação de proporção, \|\overrightarrow{AB}\|:\|\overrightarrow{CD}\|=1:3. Concluímos que AB tem um terço do comprimento de CD.
Resposta
As retas AB e CD são paralelas.
Razão entre os comprimentos: \|\overrightarrow{AB}\|:\|\overrightarrow{CD}\|=1:3 (ou \|\overrightarrow{AB}\|/\|\overrightarrow{CD}\|=1/3).