Carregamento de Capacitor em Circuito RC. Um(a) engenheiro(a) está projetando um sistema de alimentação de emergência para equipamentos médicos. O sistema utiliza capacitores para fornecer energia durante quedas de luz. É necessário entender o comportamento do capacitor durante o carregamento.
Em um circuito RC (Resistor-Capacitor), quando aplicamos uma tensão constante V_{0}=12 \mathrm{~V}, a tensão no capacitor em função do tempo é dada por:
V_{C}(t)=V_{0}\left(1-e^{-\frac{t}{R C}}\right)=12\left(1-e^{-\frac{t}{R C}}\right)
no qual: R=1000 (resistência); C=100 \mu F (capacitância) e \mathrm{RC}= constante de tempo = 0,1 \mathrm{~s}.

Considere a regra dos engenheiros:

  • Após 1( \tau tempo) ( 1 constante de tempo): V_{C} \approx 63,2 \% de V_{0}.
  • Após 3 \tau : V_{C} \approx 95 \% de V_{0}.
  • Após 5 \tau V_{C} \approx 99,3 \% de V_{0} (considerado totalmente carregado).
Pergunta: O que acontece com a tensão no capacitor quando t \longrightarrow \infty ? Quanto tempo é necessário para considerar o capacitor totalmente carregado?

Passo 1

O enunciado descreve o carregamento de um capacitor num circuito RC alimentado por tensão constante V_{0}=12,V, com resistência R=1000, \Omega e capacitância C=100\,\muF, de modo que a constante de tempo é \tau=RC=0,1,s. A equação que rege o comportamento da tensão no capacitor é
V_{C}(t)=V_{0}\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)=12\bigl(1-e^{-t/0,1}\bigr).
Pergunta-se: o que ocorre com V_{C}(t) quando t\to\infty, e após quanto tempo o capacitor pode ser considerado totalmente carregado?

Passo 2

Para analisar o limite quando t\to\infty, usamos a propriedade do exponencial:
\lim_{x\to\infty}e^{-x}=0.
Substituindo x=t/\tau, temos
\lim_{t\to\infty}V_{C}(t) =\;V_{0}\bigl(1-\lim_{t\to\infty}e^{-t/\tau}\bigr) =\;V_{0}(1-0) =\;V_{0}.
Logo, à medida que o tempo cresce indefinidamente, a tensão no capacitor tende a 12,V.

Passo 3

Segundo a regra dos engenheiros, considera-se o capacitor “totalmente carregado” quando sua tensão atinge aproximadamente 99,3\% de V_{0}, o que ocorre em torno de
t\approx5\,\tau.
Como \tau=0,1,s, conclui-se que
t\approx5\times0,1\text{ s}=0,5\text{ s}.

Resposta

À medida que t\to\infty, a tensão no capacitor se aproxima de V_{0}=12,V. Considera-se o capacitor totalmente carregado após cerca de 0,5,s.

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