Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operações definidas abaixo:
Adição:
/ Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adição:
Passo 1
O enunciado nos dá o “espaço”
com adição usual
e multiplicação por escalar não usual
O conteúdo da matéria é “espaço vetorial sobre
”, e vamos conferir os axiomas de multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, note que a adição é exatamente a de
, então satisfaz associatividade, comutatividade, elemento neutro
e inversos aditivos
. Logo, todos os axiomas de adição estão ok.
Passo 3
Verificamos alguns axiomas envolvendo escalar e adição de vetores:
- Compatibilidade com produto de escalares:
- Unidade:
- Distributividade em relação à soma de vetores:
Portanto esses três axiomas estão satisfeitos.
Passo 4
Agora confira a distributividade em relação à soma de escalares:
Em geral
, logo
Isso viola um dos axiomas de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com essas operações não é um espaço vetorial sobre
, pois falha a distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares.