Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^2 a partir das operações definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c^2 x1, c^2 y1, c^2 z1), com c in R.

Passo 1

O enunciado nos dá o “espaço”
V = R^3
com adição usual
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,)
e multiplicação por escalar não usual
ccdot(x,y,z) = l(c^2x,;c^2y,;c^2zr)
O conteúdo da matéria é “espaço vetorial sobre R”, e vamos conferir os axiomas de multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, note que a adição é exatamente a de R^3, então satisfaz associatividade, comutatividade, elemento neutro (0,0,0) e inversos aditivos ( -x,-y,-z). Logo, todos os axiomas de adição estão ok.

Passo 3

Verificamos alguns axiomas envolvendo escalar e adição de vetores:
  1. Compatibilidade com produto de escalares: (cd)cdot v = l((cd)^2vir) = c^2d^2,vi = ccdotl(dcdot vr)
  2. Unidade: 1cdot v = (1^2vi) = vi
  3. Distributividade em relação à soma de vetores: ccdot(u+v) = c^2(ui+vi) = c^2ui + c^2vi = ccdot u + ccdot v
Portanto esses três axiomas estão satisfeitos.

Passo 4

Agora confira a distributividade em relação à soma de escalares:
(c+d)cdot v = (c+d)^2,vi = l(c^2 + 2cd + d^2r)vi = c^2vi + d^2vi + 2cd,vi = ccdot v + dcdot v + 2cd,vi
Em geral 2cd,vineq0, logo
(c+d)cdot v neq ccdot v + dcdot v
Isso viola um dos axiomas de espaço vetorial.

Resposta

O conjunto V=R^3 com essas operações não é um espaço vetorial sobre R, pois falha a distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares.

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