Exercício 6. Considere a matriz A=[ll0 & 1 0 & 0]. Calcule A^2 e verifique se A^n=0 para algum n>2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 1[6pt]0 & 0
e pede para calcular A^2 e verificar se existe algum n>2 tal que A^n=0. O conteúdo aqui é potência de matriz e a definição de produto de matrizes.]

Passo 2

Para achar A^2 usamos a definição de produto:
A^2 ;=; Acdot A ;=; 0 & 1[3pt]0 & 0 0 & 1[3pt]0 & 0 = 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 [6pt] 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 = 0 & 0[3pt]0 & 0 ]

Passo 3

Como A^2 = 0 (a matriz zero), para qualquer n>2 podemos escrever
A^n = A^n-2,A^2 = A^n-2,0 = 0
Logo, todos os A^n com n>=2 são a matriz zero, em particular para qualquer n>2.

Resposta

A^2 = 0 & 00 & 0 e A^n = 0 para todo n>2.

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