Em uma via de Brasília, o custo médio de viagem é C(Q)=10+0,2 Q, e o custo marginal social é C_{M S}(Q)=10+0,4 Q. A demanda por viagens é P(Q)= 30-0,2 Q.
(a) Calcule o número de veículos no equilíbrio competitivo e no ótimo social.
(b) Determine o pedágio ótimo de Pigou.
(c) Relacione o resultado à precificação de congestionamento em Engenharia de Transportes.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Custo médio (por viagem) \,C(Q)=10+0,2\,Q\,.
  • Custo marginal social \,C_{MS}(Q)=10+0,4\,Q\,.
  • Demanda (disposição a pagar) \,P(Q)=30-0,2\,Q\,.
O enunciado pede:
(a) Calcular o número de veículos (quantidade de viagens) no equilíbrio competitivo e no ótimo social.
(b) Determinar o pedágio ótimo de Pigou.
(c) Relacionar o resultado à precificação de congestionamento em Engenharia de Transportes.

Passo 2

Entendendo as condições de equilíbrio e o que cada curva representa (aula rápida e intuitiva).
  • A curva de demanda \,P(Q)\, dá o valor marginal que os usuários atribuem a uma viagem adicional: é quanto o último usuário está disposto a pagar pela sua viagem.
  • A função \,C(Q)\, é o custo por usuário que cada viajante “experimenta” quando há Q viagens. Em muitos modelos de transporte isso é o tempo de viagem médio por veículo: cada usuário observa esse custo e decide se faz a viagem. No equilíbrio competitivo (ou equilíbrio do usuário), os motoristas comparam seu benefício marginal \,P(Q)\, com o custo que eles mesmos enfrentam, que aqui é \,C(Q)\,. Assim, no equilíbrio competitivo:
P(Q)=C(Q).
Nota: esse é o comportamento “privado” — o usuário não considera o efeito que sua viagem adicional impõe sobre o tempo dos outros.
  • O ótimo social é obtido igualando o benefício marginal (demanda) à função de custo marginal social \,C_{MS}(Q)\,, que inclui o custo privado e o custo externo que uma viagem adicional impõe aos demais. Logo, no ótimo social:
P(Q)=C_{MS}(Q).
  • O pedágio de Pigou tem o objetivo de internalizar a externalidade: cobrar um valor por viagem igual à diferença entre custo marginal social e custo privado percebido pelo usuário, no ponto do ótimo social. Em fórmula:
t^\ast = C_{MS}(Q_{s}) - C(Q_{s}),
onde \,Q_s\, é a quantidade socialmente ótima. Cobrar t^\ast faz com que o custo percebido pelo usuário passe a ser C(Q)+t^\ast = C_{MS}(Q), levando o equilíbrio privado ao ótimo social.
Agora aplicamos essas ideias aos números dados.

Passo 3

Calcular o equilíbrio competitivo resolvendo \,P(Q)=C(Q)\,.
Escrevendo a igualdade:
30-0,2\,Q = 10+0,2\,Q.
Resolver passo a passo:
30-10 = 0,2\,Q + 0,2\,Q,
20 = 0,4\,Q,
Q = \frac{20}{0,4} = 50.
Portanto, o equilíbrio competitivo é \,Q_{c}=50\, veículos (ou viagens).

Passo 4

Calcular o ótimo social resolvendo \,P(Q)=C_{MS}(Q)\,.
Escrevendo a igualdade:
30-0,2\,Q = 10+0,4\,Q.
Resolver passo a passo:
30-10 = 0,4\,Q + 0,2\,Q,
20 = 0,6\,Q,
Q = \frac{20}{0,6} = \frac{100}{3} \approx 33,333\ldots
Portanto, o ótimo social é \,Q_{s}=\dfrac{100}{3}\approx 33,333\, veículos.

Passo 5

Calcular o pedágio ótimo de Pigou usando \,t^\ast = C_{MS}(Q_{s}) - C(Q_{s})\,.
Primeiro calcular a diferença em forma simbólica:
C_{MS}(Q)-C(Q) = (10+0,4\,Q) - (10+0,2\,Q) = 0,2\,Q.
Avaliar em \,Q_s=\dfrac{100}{3}\,:
t^\ast = 0,2\cdot\frac{100}{3} = \frac{20}{3} \approx 6,666\ldots
Ou, calculando diretamente os custos no ponto \,Q_s:
C_{MS}\!\left(\tfrac{100}{3}\right)=10+0,4\cdot\frac{100}{3}=\frac{70}{3}\approx 23,333,
C\!\left(\tfrac{100}{3}\right)=10+0,2\cdot\frac{100}{3}=\frac{50}{3}\approx 16,667,
t^\ast=\frac{70}{3}-\frac{50}{3}=\frac{20}{3}\approx 6,667.
Assim, o pedágio óptimo de Pigou é \,t^\ast=\dfrac{20}{3}\approx 6,667\, (unidades monetárias por viagem).

Passo 6

Interpretação e relação com a precificação de congestionamento em Engenharia de Transportes (explicação prática e intuitiva).
  • O equilíbrio competitivo tem mais viagens ( 50) do que o ótimo social ( \approx 33{,}33). Isso ocorre porque, no equilíbrio privado, cada usuário ignora o efeito que sua viagem adicional impõe aos demais (tempo extra que cada um vai enfrentar). O resultado é excesso de tráfego (congestionamento) e perda de bem-estar social.
  • O pedágio de Pigou que encontramos ( \,t^\ast=\tfrac{20}{3}\,) é exatamente o valor que corrige essa falha de mercado: ao cobrar esse valor por viagem, o custo percebido pelo usuário passa a ser igual ao custo marginal social, e a quantidade escolhida pelos usuários (quando enfrentam esse preço) coincide com o ótimo social. Em termos práticos, isso é o fundamento econômico da cobrança de tarifas de congestionamento.
  • Em Engenharia de Transportes, isso se traduz em políticas como pedágios urbanos, tarifas dinâmicas (congestion pricing), faixas com cobrança variável (tolled lanes) e cobrança por emissão de carbono em áreas congestionadas. Pontos importantes na implementação prática:
    • O pedágio ideal é marginal e pode variar no tempo e no espaço (picos horários merecem tarifas maiores).
    • Na prática, além do impacto no tráfego, considera-se equidade, custo de cobrança e alternativas de transporte público.
    • Sistemas modernos usam pedágio eletrônico e tarifas dinâmicas para aproximar a cobrança do pedágio pigouviano ideal.
Conclusão informal: o cálculo mostra, de forma clara e simples, por que cobrar para entrar numa via congestionada pode melhorar o funcionamento do sistema — reduz viagens pouco valiosas e alinha decisões privadas com o bem-estar coletivo. Força aí: esse tipo de raciocínio é exatamente o que perguntam em provas de Economia do Transporte/Engenharia — pratique montar as equações e resolver as igualdades lineares como fizemos.

Resposta

(a) Q_{\text{competitivo}}=50 \quad Q_{\text{social}}=\dfrac{100}{3}\approx 33,333\n
(b) t^\ast=\dfrac{20}{3}\approx 6,667\n
(c) O pedágio de Pigou internaliza o custo externo do congestionamento, reduzindo Q do equilíbrio privado ao ótimo social; é a justificativa teórica para pedágios/precificação dinâmica em Engenharia de Transportes.

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