Duas empresas, A e B, emitem poluentes com custos de redução dados por:
onde
representa o nível de emissão. O total permitido é
.
(a) Calcule a alocação eficiente de emissões.
(b) Determine o preço de equilíbrio dos créditos de emissão.
(a) Calcule a alocação eficiente de emissões.
(b) Determine o preço de equilíbrio dos créditos de emissão.
Passo 1
O enunciado dá as funções de custo das duas empresas e uma restrição total de emissões. Vou listar tudo de forma bem clara para você não se perder:
- Função de custo da empresa A:
. - Função de custo da empresa B:
. - Restrição de emissão total:
. - O enunciado pede:
(a) a alocação eficiente de emissões;
(b) o preço de equilíbrio dos créditos de emissão (o preço do direito de emitir 1 unidade).
Passo 2
Intuição do que significa “alocação eficiente” aqui (sem pular etapas): queremos distribuir o total de emissões entre A e B de modo a minimizar o custo agregado total, sujeito à restrição
. Matematicamente, resolve-se:
Uma maneira simples e padrão é usar o princípio da equimarginalidade: em uma alocação eficiente, os custos marginais de reduzir (ou de emitir) das duas empresas devem ser iguais. Aqui “custo marginal” significa a derivada da função de custo em relação a
, isto é, quanto aumenta o custo total se a emissão de uma empresa aumentar em uma unidade.
Também vou mostrar o método do multiplicador de Lagrange (é o método formal). Ele dá a mesma condição e ainda identifica o multiplicador
, que tem interpretação econômica: é o preço sombra do recurso (aqui, o preço do crédito de emissão).
Passo 3
Calculemos os custos marginais (derivadas das funções de custo):
- Para a empresa A:
- Para a empresa B:
O princípio da equimarginalidade diz que, no ótimo,
Substituindo as expressões:
Juntando com a restrição
, substituímos
na restrição:
Então
Passo 4
Vou confirmar o resultado pelo método do multiplicador de Lagrange (passo a passo) para você ver a interpretação do preço:
Formule o Lagrangiano
onde
é o multiplicador associado à restrição
.
As condições de primeira ordem:
Das duas primeiras igualdades temos
, que é exatamente a condição da equimarginalidade que usamos antes. Usando a restrição obtemos os mesmos valores:
Além disso, vemos que
satisfaz
e
. Economicamente,
é o preço sombra do recurso (aqui, o preço dos créditos de emissão): é o custo marginal comum no ótimo.
Passo 5
Interpretação final e verificação numérica rápida: calcule os custos marginais nos valores encontrados para checar a igualdade.
Ambos iguais a
, então está tudo consistente.
Resposta
(a)
(b)