Duas empresas, A e B, emitem poluentes com custos de redução dados por:
C_{A}\left(e_{A}\right)=e_{A}^{2}, \quad C_{B}\left(e_{B}\right)=0,5 e_{B}^{2}
onde e_{i} representa o nível de emissão. O total permitido é e_{A}+e_{B}=10.
(a) Calcule a alocação eficiente de emissões.
(b) Determine o preço de equilíbrio dos créditos de emissão.

Passo 1

O enunciado dá as funções de custo das duas empresas e uma restrição total de emissões. Vou listar tudo de forma bem clara para você não se perder:
  • Função de custo da empresa A: C_{A}\left(e_{A}\right)=e_{A}^{2}.
  • Função de custo da empresa B: C_{B}\left(e_{B}\right)=0,5\,e_{B}^{2}.
  • Restrição de emissão total: e_{A}+e_{B}=10.
  • O enunciado pede:
    (a) a alocação eficiente de emissões (e_{A},e_{B});
    (b) o preço de equilíbrio dos créditos de emissão (o preço do direito de emitir 1 unidade).

Passo 2

Intuição do que significa “alocação eficiente” aqui (sem pular etapas): queremos distribuir o total de emissões entre A e B de modo a minimizar o custo agregado total, sujeito à restrição e_{A}+e_{B}=10. Matematicamente, resolve-se:
\min_{e_{A},e_{B}} \; C_{A}\left(e_{A}\right)+C_{B}\left(e_{B}\right) \quad\text{sujeito a}\quad e_{A}+e_{B}=10.
Uma maneira simples e padrão é usar o princípio da equimarginalidade: em uma alocação eficiente, os custos marginais de reduzir (ou de emitir) das duas empresas devem ser iguais. Aqui “custo marginal” significa a derivada da função de custo em relação a e_{i}, isto é, quanto aumenta o custo total se a emissão de uma empresa aumentar em uma unidade.
Também vou mostrar o método do multiplicador de Lagrange (é o método formal). Ele dá a mesma condição e ainda identifica o multiplicador \lambda, que tem interpretação econômica: é o preço sombra do recurso (aqui, o preço do crédito de emissão).

Passo 3

Calculemos os custos marginais (derivadas das funções de custo):
  • Para a empresa A:
\text{MC}_{A}(e_{A})=\frac{d}{de_{A}}\,e_{A}^{2}=2e_{A}.
  • Para a empresa B:
\text{MC}_{B}(e_{B})=\frac{d}{de_{B}}\left(0,5\,e_{B}^{2}\right)=0,5\cdot 2 e_{B}=e_{B}.
O princípio da equimarginalidade diz que, no ótimo,
\text{MC}_{A}(e_{A})=\text{MC}_{B}(e_{B}).
Substituindo as expressões:
2e_{A}=e_{B}.
Juntando com a restrição e_{A}+e_{B}=10, substituímos e_{B}=2e_{A} na restrição:
e_{A}+2e_{A}=10 \quad\Rightarrow\quad 3e_{A}=10 \quad\Rightarrow\quad e_{A}=\frac{10}{3}.
Então
e_{B}=2e_{A}=2\cdot\frac{10}{3}=\frac{20}{3}.

Passo 4

Vou confirmar o resultado pelo método do multiplicador de Lagrange (passo a passo) para você ver a interpretação do preço:
Formule o Lagrangiano
\mathcal{L}(e_{A},e_{B},\lambda)=e_{A}^{2}+0,5\,e_{B}^{2}-\lambda\,(e_{A}+e_{B}-10),
onde \lambda é o multiplicador associado à restrição e_{A}+e_{B}=10.
As condições de primeira ordem:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial e_{A}}=2e_{A}-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad 2e_{A}=\lambda,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial e_{B}}=e_{B}-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad e_{B}=\lambda,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(e_{A}+e_{B}-10)=0 \quad\Rightarrow\quad e_{A}+e_{B}=10.
Das duas primeiras igualdades temos 2e_{A}=e_{B}, que é exatamente a condição da equimarginalidade que usamos antes. Usando a restrição obtemos os mesmos valores:
e_{A}=\frac{10}{3},\qquad e_{B}=\frac{20}{3}.
Além disso, vemos que \lambda satisfaz \lambda=2e_{A}=\frac{20}{3} e \lambda=e_{B}=\frac{20}{3}. Economicamente, \lambda é o preço sombra do recurso (aqui, o preço dos créditos de emissão): é o custo marginal comum no ótimo.

Passo 5

Interpretação final e verificação numérica rápida: calcule os custos marginais nos valores encontrados para checar a igualdade.
\text{MC}_{A}=2e_{A}=2\cdot\frac{10}{3}=\frac{20}{3}, \qquad \text{MC}_{B}=e_{B}=\frac{20}{3}.
Ambos iguais a \dfrac{20}{3}, então está tudo consistente.

Resposta

(a) e_{A}=\dfrac{10}{3},\quad e_{B}=\dfrac{20}{3}.
(b) p=\dfrac{20}{3}.

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