Uma fábrica de motores causa ruído que interfere nos testes acústicos de um laboratório próximo. O custo de isolamento da fábrica é C_{f}(x)=2 x^{2} e o do laboratório é C_{l}(x)=x^{2}, onde x é o nível de isolamento (redução de ruído).
Determine o nível eficiente de isolamento.

Passo 1

O enunciado dá as funções de custo de isolamento de duas partes:
  • Custo da fábrica: C_{f}(x)=2x^{2}.
  • Custo do laboratório: C_{l}(x)=x^{2}.
O enunciado pede: determinar o nível eficiente de isolamento. Dados os custos acima, vamos interpretar que existe um nível total de redução de ruído \,x, que deve ser alcançado coletivamente, e que tanto a fábrica quanto o laboratório podem contribuir com partes desse objetivo. As perguntas que vamos responder são:
  • Para um dado nível total de isolamento \,x, qual é a maneira eficiente (isto é, de menor custo total) de repartir esse esforço entre fábrica e laboratório?
  • Qual é o custo social mínimo (soma dos custos) para obter esse nível total \,x?
  • Qual é o custo marginal social associado a esse nível (útil caso haja também um benefício marginal a comparar)?

Passo 2

Definir variáveis e a restrição (muito importante):
  • Seja \,x_{f} o isolamento feito pela fábrica (redução de ruído realizada pela fábrica).
  • Seja \,x_{l} o isolamento feito pelo laboratório.
    O nível total de redução que queremos alcançar é \,x, portanto a restrição é
x_{f}+x_{l}=x.
Os custos individuais são (aplicando as fórmulas dadas a cada contribuição):
C_{f}(x_{f})=2x_{f}^{2},\qquad C_{l}(x_{l})=x_{l}^{2}.
O custo total a ser minimizado, dado o alvo \,x, é
C_{\text{total}}(x_{f},x_{l})=2x_{f}^{2}+x_{l}^{2},
sujeito a x_{f}+x_{l}=x.

Passo 3

Método para encontrar a repartição de menor custo: igualar custos marginais ou usar multiplicador de Lagrange. Vou usar a ideia de custos marginais porque é intuitiva e rápida em prova.
  • Custo marginal da fábrica (derivada de C_{f} em relação a x_{f}):
MC_{f}(x_{f})=\frac{d}{dx_{f}}(2x_{f}^{2})=4x_{f}.
Expliquei: a derivada diz quanto aumenta o custo total da fábrica se ela aumentar o isolamento em uma unidade infinitesimal.
  • Custo marginal do laboratório:
MC_{l}(x_{l})=\frac{d}{dx_{l}}(x_{l}^{2})=2x_{l}.
Para minimizar o custo total dado o objetivo conjunto, devemos distribuir o trabalho até que os custos marginais sejam iguais (se um lado tivesse custo marginal maior, convém deslocar um pouco de esforço para o outro lado). Logo impondo
MC_{f}(x_{f})=MC_{l}(x_{l})\quad\Rightarrow\quad 4x_{f}=2x_{l}.

Passo 4

Resolver o sistema formado pela igualdade de custos marginais e pela restrição:
Da igualdade 4x_{f}=2x_{l} obtemos
x_{l}=2x_{f}.
Usando a restrição x_{f}+x_{l}=x temos
x_{f}+2x_{f}=x \quad\Rightarrow\quad 3x_{f}=x \quad\Rightarrow\quad x_{f}=\frac{x}{3}.
E então
x_{l}=2x_{f}=2\cdot\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}.
Interpretação prática: para qualquer nível total de isolamento x que se queira atingir, a maneira de menor custo é fazer com que a fábrica faça um terço desse esforço e o laboratório faça dois terços.

Passo 5

Calcular o custo total mínimo correspondente e o custo marginal social (útil para comparar com benefícios):
Substituindo x_{f}=\dfrac{x}{3} e x_{l}=\dfrac{2x}{3} em C_{\text{total}}=2x_{f}^{2}+x_{l}^{2},
C_{\text{total}}^{\min}(x)=2\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2x}{3}\right)^{2} =2\cdot\frac{x^{2}}{9}+\frac{4x^{2}}{9} =\frac{6x^{2}}{9}=\frac{2}{3}x^{2}.
Derivando esse custo total mínimo em relação a x obtemos o custo marginal social:
MSC(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{2}\right)=\frac{4}{3}x.
Observação final: se existisse uma função de benefício marginal B'(x) da redução de ruído, o nível ótimo absoluto seria obtido resolvendo B'(x)=MSC(x)=\dfrac{4}{3}x. Como o enunciado não fornece benefícios, a resposta que podemos dar de forma completa é a repartição eficiente do esforço e o custo mínimo como função de x.

Resposta

\displaystyle x_{f}=\frac{x}{3}
\displaystyle x_{l}=\frac{2x}{3}
\displaystyle C_{\text{total}}^{\min}(x)=\frac{2}{3}x^{2}

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