Uma fábrica de motores causa ruído que interfere nos testes acústicos de um laboratório próximo. O custo de isolamento da fábrica é
e o do laboratório é
, onde
é o nível de isolamento (redução de ruído).
Determine o nível eficiente de isolamento.
Determine o nível eficiente de isolamento.
Passo 1
O enunciado dá as funções de custo de isolamento de duas partes:
- Custo da fábrica:
. - Custo do laboratório:
.
O enunciado pede: determinar o nível eficiente de isolamento. Dados os custos acima, vamos interpretar que existe um nível total de redução de ruído
, que deve ser alcançado coletivamente, e que tanto a fábrica quanto o laboratório podem contribuir com partes desse objetivo. As perguntas que vamos responder são:
- Para um dado nível total de isolamento
, qual é a maneira eficiente (isto é, de menor custo total) de repartir esse esforço entre fábrica e laboratório? - Qual é o custo social mínimo (soma dos custos) para obter esse nível total
? - Qual é o custo marginal social associado a esse nível (útil caso haja também um benefício marginal a comparar)?
Passo 2
Definir variáveis e a restrição (muito importante):
- Seja
o isolamento feito pela fábrica (redução de ruído realizada pela fábrica). - Seja
o isolamento feito pelo laboratório.
O nível total de redução que queremos alcançar é, portanto a restrição é
Os custos individuais são (aplicando as fórmulas dadas a cada contribuição):
O custo total a ser minimizado, dado o alvo
, é
sujeito a
.
Passo 3
Método para encontrar a repartição de menor custo: igualar custos marginais ou usar multiplicador de Lagrange. Vou usar a ideia de custos marginais porque é intuitiva e rápida em prova.
- Custo marginal da fábrica (derivada de
em relação a ):
Expliquei: a derivada diz quanto aumenta o custo total da fábrica se ela aumentar o isolamento em uma unidade infinitesimal.
- Custo marginal do laboratório:
Para minimizar o custo total dado o objetivo conjunto, devemos distribuir o trabalho até que os custos marginais sejam iguais (se um lado tivesse custo marginal maior, convém deslocar um pouco de esforço para o outro lado). Logo impondo
Passo 4
Resolver o sistema formado pela igualdade de custos marginais e pela restrição:
Da igualdade obtemos
Da igualdade
Usando a restrição
temos
E então
Interpretação prática: para qualquer nível total de isolamento
que se queira atingir, a maneira de menor custo é fazer com que a fábrica faça um terço desse esforço e o laboratório faça dois terços.
Passo 5
Calcular o custo total mínimo correspondente e o custo marginal social (útil para comparar com benefícios):
Substituindo e
em
,
Substituindo
Derivando esse custo total mínimo em relação a
obtemos o custo marginal social:
Observação final: se existisse uma função de benefício marginal
da redução de ruído, o nível ótimo absoluto seria obtido resolvendo
. Como o enunciado não fornece benefícios, a resposta que podemos dar de forma completa é a repartição eficiente do esforço e o custo mínimo como função de
.