Em uma viagem a Júpiter, deseja-se construir uma nave espacial com uma seção rotacional para simular, por efeitos centrífugos, a gravidade. A seção terá um raio de 90 metros. Quantas rotações por minuto (RPM) deverá ter essa seção para simular a gravidade terrestre? (considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: encontrar quantas rotações por minuto (RPM) uma seção rotacional deve fazer para que a aceleração centrífuga na borda simule a gravidade terrestre.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da seção: r=90\\ \mathrm{m}.
    • Gravidade desejada: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Objetivo numérico: calcular a frequência de rotação em rotações por minuto (RPM).

Passo 2

Conceito físico principal: aceleração centrípeta/centrífuga numa rotação.
  • Quando um corpo descreve movimento circular uniforme de raio r com velocidade angular \omega (em rad/s), a aceleração dirigida para o centro tem magnitude
a=\omega^{2}r.
  • Aqui queremos que essa aceleração valha exatamente a gravidade desejada, ou seja \,a=g. As variáveis significam:
    • \omega: velocidade angular em rad/s (radianos por segundo).
    • r: raio do círculo em metros.
    • a: aceleração centrípeta em \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Isolar a velocidade angular \omega.
  • Igualando a=g na fórmula da aceleração:
g=\omega^{2}r.
  • Despejando \omega:
\omega=\sqrt{\dfrac{g}{r}}.
  • Observação de unidades: g em \mathrm{m/s^{2}} e r em \mathrm{m} dão \omega em \mathrm{rad/s}, que é consistente.

Passo 4

Relacionar \omega com rotações por minuto (RPM).
  • A frequência em revoluções por segundo (Hz), que chamo de f, relaciona-se com \omega por
\omega=2\pi f \quad\Rightarrow\quad f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Rotações por minuto (RPM) é simplesmente 60 vezes f:
\mathrm{RPM}=60f=\dfrac{60\omega}{2\pi}.

Passo 5

Calcular numericamente \omega com os valores dados.
  • Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e r=90\\ \mathrm{m} em \omega=\sqrt{g/r}:
\omega=\sqrt{\dfrac{10}{90}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular a RPM a partir de \omega=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Usando \mathrm{RPM}=\dfrac{60\omega}{2\pi}:
\mathrm{RPM}=\dfrac{60\cdot\frac{1}{3}}{2\pi}=\dfrac{20}{2\pi}=\dfrac{10}{\pi}\\ \text{(RPM)}.
  • Aproximação numérica (usar vírgula para decimais):
\dfrac{10}{\pi}\approx 3,18\\ \text{RPM}.

Resposta

\dfrac{10}{\pi}\\ \text{RPM} \approx 3,18\\ \text{RPM}

Exercícios relacionados