Um ponto em movimento circular uniforme descreve 15 voltas por segundo em uma circunferência de 8,0 \mathrm{~cm} de raio. Determine:
a) A sua velocidade angular;
b) o seu período;
c) e a sua velocidade linear

Passo 1

O enunciado dá (peguei estes valores do enunciado): \n
  • Frequência de voltas: f=15\\ \text{voltas/s}=15\\ \text{s}^{-1}. \n
  • Raio da circunferência: r=8{,}0\\ \text{cm}=0{,}080\\ \text{m}. \n
    O que pede: \n
    (a) a velocidade angular; \n
    (b) o período; \n
    (c) a velocidade linear.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática): \n
  • Frequência f é o número de voltas por segundo. A unidade é \text{s}^{-1} (ou Hz). \n
  • Período T é o tempo de uma volta completa. A relação entre período e frequência é \n
T=\frac{1}{f},
onde T é em segundos e f em \text{s}^{-1}. Isso vem da ideia simples: se se dão f voltas por segundo, cada volta demora 1/f segundos. \n
  • Velocidade angular \omega mede quantos radianos o ponto varre por segundo. Uma volta completa corresponde a 2\pi radianos. Portanto \n
\omega=2\pi f,
onde \omega tem unidade \text{rad/s}. \n
  • Velocidade linear (tangencial) v está ligada à velocidade angular por \n
v=\omega r.
Aqui r é o raio (em metros) e v resulta em \text{m/s}. Substituindo \omega=2\pi f obtém-se também \;v=2\pi f r.

Passo 3

Calcular o período T usando T=1/f. Substituindo f=15\\ \text{s}^{-1}: \n
T=\frac{1}{15}\\ \text{s}=0{,}066\overline{6}\\ \text{s}.
Arredondando de forma prática para três casas significativas: \n
T\approx0{,}0667\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega usando \omega=2\pi f. Substituindo f=15\\ \text{s}^{-1}: \n
\omega=2\pi\cdot 15=30\pi\\ \text{rad/s}.
Aproximação numérica com \pi\approx3{,}1416: \n
\omega\approx 30\cdot 3{,}1416 \approx 94{,}25\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Preparar para calcular v: primeiro converti o raio dado na imagem para metros (peguei r=8{,}0\\ \text{cm} do enunciado): \n
r=8{,}0\\ \text{cm}=0{,}080\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade linear v usando v=\omega r ou v=2\pi f r. Vou usar a forma direta com 2\pi f r: \n
v=2\pi f r=2\pi\cdot 15\cdot 0{,}080.
Fazendo as contas passo a passo: \n
2\pi\cdot 15=30\pi,
30\pi\cdot 0{,}080 = 2{,}4\pi.
Aproximando com \pi\approx3{,}1416: \n
v\approx 2{,}4\cdot 3{,}1416 \approx 7{,}54\\ \text{m/s}.
Se preferir em centímetros por segundo (para conferir): v\approx 754\\ \text{cm/s}.

Passo 7

Resumo rápido de verificação: \n
  • O período curto T\approx0{,}0667\\ \text{s} faz sentido com 15 voltas por segundo. \n
  • A relação v=\omega r foi respeitada e as unidades conferem ( \text{rad/s}\times\text{m}=\text{m/s}). \n
    Pronto — valores calculados e arredondados de forma consistente.

Resposta

(a) \omega=30\pi\\ \text{rad/s}\approx94{,}25\\ \text{rad/s} \n
(b) T=\dfrac{1}{15}\\ \text{s}\approx0{,}0667\\ \text{s} \n
(c) v=2\pi f r=2{,}4\pi\\ \text{m/s}\approx7{,}54\\ \text{m/s}

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