Um operário está trabalhando em uma grande obra civil quando o alarme fixo de segurança do canteiro de obras é acionado devido a um teste de rotina. O alarme emite uma onda sonora senoidal com frequência constante \mathrm{f}_{\mathrm{s}}=480 \mathrm{~Hz}. O ar está parado e a velocidade do som no local é v =340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Assustado com o volume do som, o operário entra em um veículo utilitário e se afasta do alarme em linha reta com uma velocidade constante de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a frequência (fo) do alarme percebida pelo operário enquanto ele está se afastando?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Frequência emitida pelo alarme: f_s = 480\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar: v = 340\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do operário (observador) afastando-se em linha reta: v_o = 15\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é a frequência percebida pelo operário enquanto ele se afasta? Denotaremos essa frequência por f_o.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples):
  • Uma onda sonora senoidal no ar tem comprimento de onda \lambda relacionado à velocidade do som v e à frequência da fonte f_s pela fórmula
\lambda = \frac{v}{f_s}.
Aqui:
  • \lambda é a distância entre frentes de onda consecutivas (em metros),
  • v é a velocidade de propagação da onda (em \mathrm{m/s}),
  • f_s é a frequência da fonte (em \mathrm{Hz}, ciclos por segundo).
Essa fórmula vem da definição de frequência: em cada segundo a fonte cria f_s cristas, e essas cristas estão separadas por \lambda, então para percorrer uma crista leva tempo \lambda/v, logo f_s = v/\lambda e rearranjando obtém-se \lambda = v/f_s.

Passo 3

Como a frequência percebida depende do número de frentes de onda que atingem o observador por segundo, se o observador se move, a velocidade relativa com que as frentes de onda atingem-o muda.
  • Se o observador se afasta da fonte com velocidade v_o, a velocidade efetiva das frentes de onda em relação ao observador é v - v_o (as frentes “alcancam” o observador mais lentamente).
  • A frequência percebida é o número de frentes por segundo que chegam ao observador, ou seja,
f_o = \frac{\text{velocidade relativa das frentes}}{\lambda} = \frac{v - v_o}{\lambda}.
Isto é uma ideia direta: frequência percebida = velocidade relativa / comprimento de onda.

Passo 4

Substituindo \lambda = \dfrac{v}{f_s} na expressão anterior obtemos a fórmula do efeito Doppler para observador em movimento (fonte parada):
f_o = \frac{v - v_o}{\lambda} = \frac{v - v_o}{v/f_s} = f_s\left(\frac{v - v_o}{v}\right).
Interpretação de sinais:
  • Se o observador se aproxima da fonte usa-se v + v_o no numerador (aumenta f_o).
  • Se o observador se afasta usa-se v - v_o (diminui f_o), como é o caso aqui.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados:
f_o = 480\\ \mathrm{Hz}\times\left(\frac{340\\ \mathrm{m/s}-15\\ \mathrm{m/s}}{340\\ \mathrm{m/s}}\right).
Calcule o numerador e a fração passo a passo:
340-15=325, \qquad \frac{325}{340}=\frac{65}{68}.
Logo
f_o = 480\times\frac{65}{68} = \frac{480\cdot65}{68} = \frac{7800}{17}\\ \mathrm{Hz}.
Fazendo a divisão:
\frac{7800}{17}\approx 458,8235\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para um valor prático (o ouvido humano não distingue facilmente pequenas diferenças):
f_o \approx 459\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação rápida: como o operário se afasta, a frequência percebida diminui de 480\\ \mathrm{Hz} para cerca de 459\\ \mathrm{Hz}. A variação é modesta porque v_o é pequeno comparado a v ( 15\ll340). Boa notícia — agora já sabe como aplicar o efeito Doppler para observador em movimento; isso cai fácil na prova se fizer os passos com cuidado.

Resposta

f_o \approx 459\\ \mathrm{Hz}

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