Dois trens de alta tecnologia movem-se em trilhos retilíneos e paralelos na mesma direção e sentido. O trem que viaja atrás (Trem A) possui uma sirene que emite uma onda sonora senoidal com frequência constante
. O trem que viaja à frente (Trem B) funciona como o ouvinte. O ar está parado e a velocidade do som no local é v
. Sabendo que o Trem A (fonte) move-se a uma velocidade constante de
em relação ao ar e o Trem B (ouvinte) move-se a uma velocidade constante de
em relação ao ar, qual é a frequência (
) do som da sirene percebida pelos passageiros no Trem B?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Frequência da sirene (fonte):
. - Velocidade do som no ar:
. - Velocidade do Trem A (fonte) em relação ao ar:
. - Velocidade do Trem B (ouvinte) em relação ao ar:
. - Configuração geométrica: os trilhos são retilíneos e paralelos, os trens movem-se no mesmo sentido; o Trem A está atrás do Trem B (logo o Trem A tenta alcançar o Trem B).
- O que é pedido: a frequência do som percebida pelos passageiros no Trem B, isto é
.
Passo 2
Explicação física e fórmula que vamos usar (Efeito Doppler com meio estacionário).
Quando a fonte de som e o ouvinte se movem em relação ao meio (ar), a frequência percebida muda. A fórmula geral, para ondas sonoras em ar estacionário, é
Aqui:
-
é a frequência observada pelo ouvinte (o que queremos). -
é a frequência emitida pela fonte (dada). -
é a velocidade da onda no meio (velocidade do som). -
é a velocidade do ouvinte em relação ao meio; por convenção, se o ouvinte se move em direção à fonte e se o ouvinte se afasta da fonte. -
é a velocidade da fonte em relação ao meio; por convenção, se a fonte se move em direção ao ouvinte e se a fonte se afasta do ouvinte.
Raciocínio rápido sobre a fórmula:
- O numerador
ajusta a frequência para o caso do ouvinte em movimento: se o ouvinte vai ao encontro da onda ( ) ele intercepta mais frentes de onda por segundo → aumento de . - O denominador
trata da fonte em movimento: se a fonte se aproxima do ouvinte ( ) ela “aperta” as frentes de onda à frente → diminui o comprimento de onda e aumenta .
Passo 3
Determinar o sinal das velocidades
e
conforme a convenção explicada.
- O Trem A (fonte) está atrás e corre na mesma direção sentido em direção ao Trem B: isso significa que a fonte está se movendo em direção ao ouvinte. Pela convenção,
. Então tomamos . - O Trem B (ouvinte) está à frente e também se move no mesmo sentido; isso significa que o ouvinte está-se afastando da posição da fonte (ou seja, movendo-se para longe do som que vem de trás). Pela convenção, mover-se para longe da fonte corresponde a
. Então tomamos .
(Se preferir, pense: o ouvinte corre na mesma direção do som vindo de trás, portanto ele está “se afastando” da fonte; mesmo que a fonte venha em sua direção mais rápido, instantaneamente o movimento do ouvinte é para longe da fonte.)
Passo 4
Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
Escrevendo a fórmula com os valores:
Calcular numerador e denominador separadamente:
Agora a razão:
Multiplicando pela frequência da fonte:
Passo 5
Interpretação e dica rápida para prova.
- Resultado:
, ou seja, os passageiros do Trem B escutam a sirene mais aguda do que a emitida ( vs ), porque o efeito do Trem A se aproximando (aumenta a frequência) domina o efeito do Trem B se afastando (que diminuiria a frequência); numericamente isso dá um ganho líquido de . - Dica rápida: em muitos problemas com fonte atrás e mais rápida, vale calcular primeiro o fator da fonte
e depois aplicar o fator do ouvinte (atenção ao sinal de ). Isso ajuda a evitar confusão de sinais.