Dois trens de alta tecnologia movem-se em trilhos retilíneos e paralelos na mesma direção e sentido. O trem que viaja atrás (Trem A) possui uma sirene que emite uma onda sonora senoidal com frequência constante \mathrm{f}_{\mathrm{s}}=500 \mathrm{~Hz}. O trem que viaja à frente (Trem B) funciona como o ouvinte. O ar está parado e a velocidade do som no local é v =340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o Trem A (fonte) move-se a uma velocidade constante de 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao ar e o Trem B (ouvinte) move-se a uma velocidade constante de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao ar, qual é a frequência ( \mathrm{f}_{\mathrm{o}} ) do som da sirene percebida pelos passageiros no Trem B?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Frequência da sirene (fonte): \,f_{\mathrm{s}} = 500\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar: \,v = 340\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do Trem A (fonte) em relação ao ar: \,v_{\mathrm{s}} = 40\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do Trem B (ouvinte) em relação ao ar: \,v_{\mathrm{o}} = 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Configuração geométrica: os trilhos são retilíneos e paralelos, os trens movem-se no mesmo sentido; o Trem A está atrás do Trem B (logo o Trem A tenta alcançar o Trem B).
  • O que é pedido: a frequência do som percebida pelos passageiros no Trem B, isto é \,f_{\mathrm{o}}.

Passo 2

Explicação física e fórmula que vamos usar (Efeito Doppler com meio estacionário).
Quando a fonte de som e o ouvinte se movem em relação ao meio (ar), a frequência percebida muda. A fórmula geral, para ondas sonoras em ar estacionário, é
f_{\mathrm{o}} = \left(\frac{v + v_{\mathrm{o}}}{\,v - v_{\mathrm{s}}\,}\right) f_{\mathrm{s}}.
Aqui:
  • \,f_{\mathrm{o}} é a frequência observada pelo ouvinte (o que queremos).
  • \,f_{\mathrm{s}} é a frequência emitida pela fonte (dada).
  • \,v é a velocidade da onda no meio (velocidade do som).
  • \,v_{\mathrm{o}} é a velocidade do ouvinte em relação ao meio; por convenção, \,v_{\mathrm{o}}>0 se o ouvinte se move em direção à fonte e \,v_{\mathrm{o}}<0 se o ouvinte se afasta da fonte.
  • \,v_{\mathrm{s}} é a velocidade da fonte em relação ao meio; por convenção, \,v_{\mathrm{s}}>0 se a fonte se move em direção ao ouvinte e \,v_{\mathrm{s}}<0 se a fonte se afasta do ouvinte.
Raciocínio rápido sobre a fórmula:
  • O numerador (v+v_{\mathrm{o}}) ajusta a frequência para o caso do ouvinte em movimento: se o ouvinte vai ao encontro da onda ( v_{\mathrm{o}}>0) ele intercepta mais frentes de onda por segundo → aumento de \,f_{\mathrm{o}}.
  • O denominador (v-v_{\mathrm{s}}) trata da fonte em movimento: se a fonte se aproxima do ouvinte ( v_{\mathrm{s}}>0) ela “aperta” as frentes de onda à frente → diminui o comprimento de onda e aumenta \,f_{\mathrm{o}}.

Passo 3

Determinar o sinal das velocidades \,v_{\mathrm{o}} e \,v_{\mathrm{s}} conforme a convenção explicada.
  • O Trem A (fonte) está atrás e corre na mesma direção sentido em direção ao Trem B: isso significa que a fonte está se movendo em direção ao ouvinte. Pela convenção, \,v_{\mathrm{s}} > 0. Então tomamos \,v_{\mathrm{s}} = 40\\ \mathrm{m/s}.
  • O Trem B (ouvinte) está à frente e também se move no mesmo sentido; isso significa que o ouvinte está-se afastando da posição da fonte (ou seja, movendo-se para longe do som que vem de trás). Pela convenção, mover-se para longe da fonte corresponde a \,v_{\mathrm{o}} < 0. Então tomamos \,v_{\mathrm{o}} = -10\\ \mathrm{m/s}.
(Se preferir, pense: o ouvinte corre na mesma direção do som vindo de trás, portanto ele está “se afastando” da fonte; mesmo que a fonte venha em sua direção mais rápido, instantaneamente o movimento do ouvinte é para longe da fonte.)

Passo 4

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
Escrevendo a fórmula com os valores:
f_{\mathrm{o}} = \left(\frac{v + v_{\mathrm{o}}}{\,v - v_{\mathrm{s}}\,}\right) f_{\mathrm{s}} = \left(\frac{340 + (-10)}{\,340 - 40\,}\right)\cdot 500.
Calcular numerador e denominador separadamente:
v + v_{\mathrm{o}} = 340 - 10 = 330\\ \mathrm{m/s}, \qquad v - v_{\mathrm{s}} = 340 - 40 = 300\\ \mathrm{m/s}.
Agora a razão:
\frac{330}{300} = \frac{33}{30} = \frac{11}{10} = 1{,}1.
Multiplicando pela frequência da fonte:
f_{\mathrm{o}} = 1{,}1 \times 500 = 550\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Interpretação e dica rápida para prova.
  • Resultado: \,f_{\mathrm{o}} = 550\\ \mathrm{Hz}, ou seja, os passageiros do Trem B escutam a sirene mais aguda do que a emitida ( 550\\ \mathrm{Hz} vs \,500\\ \mathrm{Hz}), porque o efeito do Trem A se aproximando (aumenta a frequência) domina o efeito do Trem B se afastando (que diminuiria a frequência); numericamente isso dá um ganho líquido de 10\%.
  • Dica rápida: em muitos problemas com fonte atrás e mais rápida, vale calcular primeiro o fator da fonte v/(v-v_{\mathrm{s}}) e depois aplicar o fator do ouvinte (v+v_{\mathrm{o}})/v (atenção ao sinal de \,v_{\mathrm{o}}). Isso ajuda a evitar confusão de sinais.

Resposta

550\\ \mathrm{Hz}

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