Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período T e raio r. Num certo instante sua aceleração é \vec{a}=a_{x} \hat{i}-a_{y} \hat{j} e velocidade \vec{v}=v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}. Com base nessas informações, é correto afirmar que
(a) \vec{a} é tangente à trajetória.
(b) a=v / T
(c) \vec{v} tem direção radial.
(d) \vec{v} e \vec{a} têm a mesma direção.
(e) d v / d t=0.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo faz movimento circular uniforme (MCU) com período T e raio r. Num certo instante as grandezas são:
\vec{a}=a_{x}\,\hat{i}-a_{y}\,\hat{j}, \qquad \vec{v}=v_{x}\,\hat{i}+v_{y}\,\hat{j}.
O que se pede é identificar qual das alternativas (a) a (e) é correta:
(a) \vec{a} é tangente à trajetória.
(b) a=v/T.
(c) \vec{v} tem direção radial.
(d) \vec{v} e \vec{a} têm a mesma direção.
(e) \displaystyle \frac{dv}{dt}=0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa MCU de forma bem prática. Movimento circular uniforme quer dizer:
  • A trajetória é uma circunferência de raio r.
  • A velocidade escalar (o “módulo” da velocidade), que chamo de v, é constante no tempo.
  • A rapidez constante não implica velocidade vetorial constante (a direção muda), então existe aceleração, chamada centrípeta, que aponta para o centro da circunferência.
    Vou escrever uma parametrização simples para deixar isso claro: a posição vetorial de um ponto no círculo pode ser escrita como
\vec{r}(t)=r\big(\cos\omega t\,\hat{i}+\sin\omega t\,\hat{j}\big),
onde \omega é a velocidade angular (rad/s). Aqui r é o raio e \omega relaciona-se com o período T por
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Expliquei o que é cada símbolo: \vec{r}(t) é posição, r é raio, \omega é a velocidade angular e T é o período.

Passo 3

Agora derivamos para obter velocidade e aceleração. A velocidade vetorial é a derivada temporal de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt} = r\omega\big(-\sin\omega t\,\hat{i}+\cos\omega t\,\hat{j}\big).
O módulo dessa velocidade é
v=|\vec{v}|=r\omega,
que é constante (isso é a rapidez constante do MCU). A aceleração é a derivada de \vec{v}:
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt} = -r\omega^{2}\big(\cos\omega t\,\hat{i}+\sin\omega t\,\hat{j}\big).
Note que \vec{a}(t) = -\omega^{2}\vec{r}(t): a aceleração está na direção radial (mesma direção de \vec{r} mas com sinal negativo, portanto apontando para o centro).

Passo 4

Das fórmulas acima tiramos conclusões importantes (aulas rápidas!):
  • Direção de \vec{v}: como \vec{v}(t) tem componentes -\sin\omega t e \cos\omega t, ela é tangente à circunferência no ponto — sempre perpendicular ao vetor posição \vec{r}(t).
  • Direção de \vec{a}: como \vec{a}(t) é proporcional a -\vec{r}(t), ela é radial e aponta para o centro (direção centrípeta).
  • Perpendicularidade: \vec{v} e \vec{a} são perpendiculares no MCU, porque a aceleração é puramente radial e a velocidade puramente tangencial.
  • Módulo da aceleração: usando v=r\omega e \omega=v/r, obtemos
a=|\vec{a}|=r\omega^{2}=\frac{v^{2}}{r}.

Passo 5

Também podemos relacionar v com o período T. A velocidade escalar v é o comprimento da circunferência dividido pelo período:
v=\frac{2\pi r}{T}.
Substituindo em a=\dfrac{v^{2}}{r}
a=\frac{(2\pi r/T)^{2}}{r}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
Guarde essas duas fórmulas úteis: a=\dfrac{v^{2}}{r} e v=\dfrac{2\pi r}{T}.

Passo 6

Vamos analisar cada alternativa com base no que já vimos.
(a) " \vec{a} é tangente à trajetória."
Pelo passo 4 vimos que a aceleração em MCU é radial (aponta para o centro), não tangente. Portanto (a) é falsa.

Passo 7

(b) “ a=v/T.”
Compare com as fórmulas do passo 5. Temos a=\dfrac{v^{2}}{r} e v/T=\dfrac{2\pi r}{T^{2}}. Em geral
a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}\quad\text{e}\quad \frac{v}{T}=\frac{2\pi r}{T^{2}},
então a\neq v/T. De fato a = 2\pi\,(v/T) usando as expressões em função de T e r, mas não é igual a v/T. Logo (b) é falsa.

Passo 8

(c) " \vec{v} tem direção radial."
No MCU a velocidade vetorial é tangente à circunferência (veja passo 4). Direção radial é a direção de \vec{r} (do centro para a partícula) e não coincide com \vec{v}. Portanto (c) é falsa.

Passo 9

(d) " \vec{v} e \vec{a} têm a mesma direção."
Já estabelecemos que \vec{v} é tangente e \vec{a} é radial, ou seja, eles são perpendiculares. Assim não têm a mesma direção. (d) é falsa.

Passo 10

(e) “ \displaystyle \frac{dv}{dt}=0.”
Aqui v é a rapidez (módulo da velocidade). Em MCU a rapidez é constante — foi até usada para derivar a=\dfrac{v^{2}}{r}. Portanto a derivada do módulo da velocidade é zero:
\frac{dv}{dt}=0.
Isto é verdadeiro. Além disso, em termos vetoriais, a componente tangencial da aceleração a_{t} é exatamente \dfrac{dv}{dt}; em MCU a aceleração é puramente normal (centrípeta), então a_{t}=0 e assim \dfrac{dv}{dt}=0.

Resposta

(e)

Exercícios relacionados