Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período
e raio
. Num certo instante sua aceleração é
e velocidade
. Com base nessas informações, é correto afirmar que
(a)
é tangente à trajetória.
(b)
(c)
tem direção radial.
(d)
e
têm a mesma direção.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz que um corpo faz movimento circular uniforme (MCU) com período
e raio
. Num certo instante as grandezas são:
O que se pede é identificar qual das alternativas (a) a (e) é correta:
(a) é tangente à trajetória.
(b) .
(c) tem direção radial.
(d) e
têm a mesma direção.
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa MCU de forma bem prática. Movimento circular uniforme quer dizer:
- A trajetória é uma circunferência de raio
. - A velocidade escalar (o “módulo” da velocidade), que chamo de
, é constante no tempo. - A rapidez constante não implica velocidade vetorial constante (a direção muda), então existe aceleração, chamada centrípeta, que aponta para o centro da circunferência.
Vou escrever uma parametrização simples para deixar isso claro: a posição vetorial de um ponto no círculo pode ser escrita como
onde
é a velocidade angular (rad/s). Aqui
é o raio e
relaciona-se com o período
por
Expliquei o que é cada símbolo:
é posição,
é raio,
é a velocidade angular e
é o período.
Passo 3
Agora derivamos para obter velocidade e aceleração. A velocidade vetorial é a derivada temporal de
:
O módulo dessa velocidade é
que é constante (isso é a rapidez constante do MCU). A aceleração é a derivada de
:
Note que
: a aceleração está na direção radial (mesma direção de
mas com sinal negativo, portanto apontando para o centro).
Passo 4
Das fórmulas acima tiramos conclusões importantes (aulas rápidas!):
- Direção de
: como tem componentes e , ela é tangente à circunferência no ponto — sempre perpendicular ao vetor posição . - Direção de
: como é proporcional a , ela é radial e aponta para o centro (direção centrípeta). - Perpendicularidade:
e são perpendiculares no MCU, porque a aceleração é puramente radial e a velocidade puramente tangencial. - Módulo da aceleração: usando
e , obtemos
Passo 5
Também podemos relacionar
com o período
. A velocidade escalar
é o comprimento da circunferência dividido pelo período:
Substituindo em
dá
Guarde essas duas fórmulas úteis:
e
.
Passo 6
Vamos analisar cada alternativa com base no que já vimos.
(a) "
é tangente à trajetória."
Pelo passo 4 vimos que a aceleração em MCU é radial (aponta para o centro), não tangente. Portanto (a) é falsa.
Pelo passo 4 vimos que a aceleração em MCU é radial (aponta para o centro), não tangente. Portanto (a) é falsa.
Passo 7
(b) “
.”
Compare com as fórmulas do passo 5. Temos e
. Em geral
Compare com as fórmulas do passo 5. Temos
então
. De fato
usando as expressões em função de
e
, mas não é igual a
. Logo (b) é falsa.
Passo 8
(c) "
tem direção radial."
No MCU a velocidade vetorial é tangente à circunferência (veja passo 4). Direção radial é a direção de (do centro para a partícula) e não coincide com
. Portanto (c) é falsa.
No MCU a velocidade vetorial é tangente à circunferência (veja passo 4). Direção radial é a direção de
Passo 9
(d) "
e
têm a mesma direção."
Já estabelecemos que é tangente e
é radial, ou seja, eles são perpendiculares. Assim não têm a mesma direção. (d) é falsa.
Já estabelecemos que
Passo 10
(e) “
.”
Aqui é a rapidez (módulo da velocidade). Em MCU a rapidez é constante — foi até usada para derivar
. Portanto a derivada do módulo da velocidade é zero:
Aqui
Isto é verdadeiro. Além disso, em termos vetoriais, a componente tangencial da aceleração
é exatamente
; em MCU a aceleração é puramente normal (centrípeta), então
e assim
.
Resposta
(e)