A velocidade v como função do tempo t de um carro é dada pela equação v=a t^{2}+b t+c, com o espaço dado em milhas (mi) e o tempo em horas (h). Com relação às unidades de v, a, b e c, é correto afirmar que são dadas em
(a) \mathrm{mi} / \mathrm{h}, \mathrm{mi} / \mathrm{h}^{3}, \mathrm{mi} / \mathrm{h}^{2} e \mathrm{mi} / \mathrm{h}, respectivamente.
(b) \mathrm{mi}, \mathrm{mi} / \mathrm{h}, \mathrm{mi} / \mathrm{h}^{2} e mi , respectivamente.
(c) \mathrm{km} / \mathrm{h}, \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~m} / \mathrm{s} e m , respectivamente.
(d) \mathrm{mi} / \mathrm{h}, \mathrm{mi} / \mathrm{h}^{2}, \mathrm{mi} / \mathrm{h} e mi , respectivamente.
(e) \mathrm{m} / \mathrm{s}, \mathrm{m} / \mathrm{s}, \mathrm{mes}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade v como função do tempo t pela expressão
v = a\,t^{2} + b\,t + c,
onde a unidade de espaço é milhas (mi) e a unidade de tempo é horas (h). As perguntas são: quais são as unidades de v, de a, de b e de c?
Informações relevantes dadas:
  • v é velocidade: depende de distância e tempo.
  • t tem unidade de horas ( \mathrm{h}).
  • A distância está em milhas ( \mathrm{mi}).
  • A expressão soma três termos ( a t^{2}, b t, c), portanto todos esses termos devem ter as mesmas unidades que v.

Passo 2

Determinar a unidade de v. Por definição, velocidade = distância / tempo. Como a distância está em milhas e o tempo em horas, a unidade de v é
\mathrm{mi}/\mathrm{h}.
Ou seja, [v]=\mathrm{mi}/\mathrm{h}.

Passo 3

Determinar a unidade de a usando consistência dimensional. O termo a\,t^{2} deve ter a mesma unidade que v. Escrevendo isso:
[a]\cdot [t]^{2} = [v].
Sabendo que [t]=\mathrm{h} e [v]=\mathrm{mi}/\mathrm{h}, temos
[a]\cdot \mathrm{h}^{2} = \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}.
Isolando [a],
[a] = \frac{\mathrm{mi}/\mathrm{h}}{\mathrm{h}^{2}} = \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}^{3}}.
Portanto [a]=\mathrm{mi}/\mathrm{h}^{3}.

Passo 4

Determinar a unidade de b. O termo b\,t também deve ter a mesma unidade que v. Assim:
[b]\cdot [t] = [v].
Com [t]=\mathrm{h} e [v]=\mathrm{mi}/\mathrm{h},
[b]\cdot \mathrm{h} = \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}.
Logo
[b] = \frac{\mathrm{mi}/\mathrm{h}}{\mathrm{h}} = \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}^{2}}.

Passo 5

Determinar a unidade de c. O termo c é somado diretamente à velocidade v, então deve ter exatamente a mesma unidade de v. Portanto
[c] = [v] = \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}.

Passo 6

Resumo das unidades encontradas:
[v]=\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}},\quad [a]=\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}^{3}},\quad [b]=\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}^{2}},\quad [c]=\frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}}.
Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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