A vida (em horas) de um determinado transistor de televisão é uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade é:
f(x)=ll 150x^2, & se x>150 0, & Caso Contrário á
Se 4 desses transistores são instalados em uma televisão. Qual a probabilidade que nenhum deles tenha que ser substituído durante as primeiras 300 horas de uso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a vida (em horas) de um transistor é uma variável contínua f(x) = dfrac150x^2, & x > 150, 0, & caso contrário com densidade
á
E a pergunta é: com 4 transistores independentes, qual a probabilidade de nenhum precisar ser trocado antes de 300 h?
Conteúdo: probabilidade para variáveis contínuas (PDF, CDF, função de sobrevivência) e independência.
O que vamos precisar:
  1. Entender a densidade e calcular a probabilidade de um transistor durar mais de 300 h.
  2. Usar a independência para elevar essa probabilidade à 4ª potência.

Passo 2

Primeiro, precisamos da probabilidade de um transistor ultrapassar 300 h, ou seja
P(X > 300) ;=; integral300^infty f(x),dx ;=;integral300^infty 150x^2,dx
Teoria rápida: integral300^infty 150x^2,dx =150integral300^infty x^-2,dx =150l[-,x^-1r]300^infty =150l(0 - l(-tfrac1300r)r) =150300 =tfrac12 . Então
Logo, .

Passo 3

Agora, como os 4 transistores são independentes, a probabilidade de todos durarem mais de 300 h é
l(P(X>300)r)^4 =l(0,5r)^4 =116 =0,0625

Resposta

A probabilidade de nenhum dos 4 transistores precisar ser substituído nas primeiras 300 h é (ou ).

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