Seja X uma variável aleatória com função densidade
f(x)=ll 12, & se -1 <= x<0 1-x, & se 0 <= x <= 1 0, & Caso Contrário á
Determine a funçāo densidade de probabilidade de
Y=|X|

Passo 1

Beleza, vamos resumir. O enunciado diz que X tem densidade
fX(x)= dfrac12, & -1<= x<0,[6pt] 1-x, & 0<= x<=1,[4pt] 0, &caso contrário, á
e pede a densidade de fY(y)=sumi fX(xi),l|tfracdxidyr| .
Conteúdo: transformação de variáveis em probabilidade, especialmente quando a função não é monotônica (|x| tem duas “ramificações”).
O que vamos precisar:
  • Saber que, para , quando há vários tais que , a densidade é
  • Identificar os ramos e .

Passo 2

Primeiro, qual é o domínio de ?
Como , temos . Fora desse intervalo, .

Passo 3

Teoria rápida:
  • Se x1(y)=y, x2(y)=-y, for monótona, a gente faz fY(y)=fX(y)cdot1 ;+; fX(-y)cdot1, 0.
  • No nosso caso não é monotônica: para cada há dois : e ambos contribuem. Além disso e .
    Logo

Passo 4

Só falta botar os valores de fY(y) = (1-y) + tfrac12 = tfrac32 - y :
  • Se , .
  • Se , , logo .
    Assim, para :
E para ou , .

Resposta

fY(y)= dfrac32 - y, & 0<= y<=1,[6pt] 0, & caso contrário á

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