A vida útil (em horas) de um tipo de lâmpada é aproximadamente normal com média μ=1100 e desvio padrão σ=130 \mathrm{~h}
Qual a probabilidade de uma lâmpada durar menos que 1060 h ?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Pede: a probabilidade de uma lâmpada durar menos que 1060 horas.
  • Informações dadas:
    • A vida útil é aproximadamente normal com média \mu = 1100 (horas).
    • Desvio padrão \sigma = 130 (horas).
  • Em termos probabilísticos, queremos calcular \Pr(X < 1060), onde X é a vida útil da lâmpada.

Passo 2

Entendendo a distribuição normal e o que significa calcular \Pr(X<1060).
  • Quando dizemos que X é aproximadamente normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^{2}).Isso significa que a densidade de probabilidade é a curva de sino e que probabilidades são obtidas pela função de distribuição acumulada (CDF).
  • Calcular \Pr(X<1060) significa encontrar a área sob a curva da densidade de X à esquerda do ponto x=1060.

Passo 3

Padronização: transformar X em uma variável normal padrão Z.
  • Para usar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão, fazemos a padronização: Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
  • A variável Z tem distribuição Z \sim N(0,1),isto é, média 0 e desvio padrão 1.
  • Assim \Pr(X<1060) = \Pr\!\left(Z<\frac{1060-\mu}{\sigma}\right).

Passo 4

Calcular o valor de z correspondente a x=1060.
  • Substituindo \mu=1100 e \sigma=130: z=\frac{1060-1100}{130}=\frac{-40}{130}=-\frac{4}{13}\approx -0,307692\ldots
  • Portanto \Pr(X<1060)=\Pr(Z<-0,307692\ldots).

Passo 5

Usar a simetria da normal padrão para transformar a probabilidade em um valor positivo (útil para tabela).
  • A função de distribuição da normal padrão \Phi(z)=\Pr(Z\le z) satisfaz a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para }a>0.
  • Assim, com a=0,307692\ldots, \Pr(Z<-0,307692\ldots)=\Phi(-0,307692\ldots)=1-\Phi(0,307692\ldots).

Passo 6

Encontrar \Phi(0,307692\ldots) usando tabela da normal padrão (ou aproximação por interpolação).
  • Tabelas usuais dão valores para \Phi em z com duas casas decimais. Pegando os valores próximos: \Phi(0,30)=0,6179,\qquad \Phi(0,31)=0,6217.(esses números foram obtidos da tabela padrão da normal)
  • Nosso z positivo correspondente é 0,307692\ldots, que fica entre 0,30 e 0,31. Fazemos interpolação linear para aproximar \Phi(0,307692\ldots).
  • A fração da distância entre 0,30 e 0,31 é \frac{0,307692\ldots-0,30}{0,01}=0,76923\ldots
  • A diferença entre os valores da tabela é 0,6217-0,6179=0,0038.
  • Multiplicando e somando: \Phi(0,307692\ldots)\approx 0,6179 + 0,76923\cdot 0,0038 \approx 0,6179 + 0,002924 \approx 0,620824.
  • Arredondando convenientemente, \Phi(0,307692\ldots)\approx 0,6208.

Passo 7

Calcular a probabilidade final \Pr(X<1060).
  • Usando a relação do Passo 5: \Pr(X<1060)=1-\Phi(0,307692\ldots)\approx 1-0,6208=0,3792.
  • Em termos percentuais, isso corresponde a aproximadamente 37,92\%.

Passo 8

Interpretação e dica prática para a prova.
  • Intuitivamente: 1060 está 40 horas abaixo da média 1100, o que corresponde a cerca de 0,31 desvios-padrão. Não é muito longe da média, por isso a probabilidade de durar menos que 1060 é um pouco menor que 50\% — aqui cerca de 0,379.
  • Dica: em prova, calcule o z, use a tabela (ou calculadora), e se precisar interpolar mostre o passo (como fiz). Se a prova aceita arredondamento, 0,38 é aceitável; se quer precisão, use 0,3792.

Resposta

0,3792

Exercícios relacionados