A vida útil (em horas) de um tipo de lâmpada é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
Qual a probabilidade de uma lâmpada durar menos que 1060 h ?
Qual a probabilidade de uma lâmpada durar menos que 1060 h ?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- Pede: a probabilidade de uma lâmpada durar menos que
horas. - Informações dadas:
- A vida útil é aproximadamente normal com média
(horas). - Desvio padrão
(horas).
- A vida útil é aproximadamente normal com média
- Em termos probabilísticos, queremos calcular
, onde é a vida útil da lâmpada.
Passo 2
Entendendo a distribuição normal e o que significa calcular
.
- Quando dizemos que
é aproximadamente normal com média e desvio padrão , escrevemos Isso significa que a densidade de probabilidade é a curva de sino e que probabilidades são obtidas pela função de distribuição acumulada (CDF). - Calcular
significa encontrar a área sob a curva da densidade de à esquerda do ponto .
Passo 3
Padronização: transformar
em uma variável normal padrão
.
- Para usar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão, fazemos a padronização:
- A variável
tem distribuição isto é, média e desvio padrão . - Assim
Passo 4
Calcular o valor de
correspondente a
.
- Substituindo
e : - Portanto
Passo 5
Usar a simetria da normal padrão para transformar a probabilidade em um valor positivo (útil para tabela).
- A função de distribuição da normal padrão
satisfaz a simetria - Assim, com
,
Passo 6
Encontrar
usando tabela da normal padrão (ou aproximação por interpolação).
- Tabelas usuais dão valores para
em z com duas casas decimais. Pegando os valores próximos: (esses números foram obtidos da tabela padrão da normal) - Nosso
positivo correspondente é , que fica entre e . Fazemos interpolação linear para aproximar . - A fração da distância entre
e é - A diferença entre os valores da tabela é
- Multiplicando e somando:
- Arredondando convenientemente,
.
Passo 7
Calcular a probabilidade final
.
- Usando a relação do Passo 5:
- Em termos percentuais, isso corresponde a aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação e dica prática para a prova.
- Intuitivamente:
está horas abaixo da média , o que corresponde a cerca de desvios-padrão. Não é muito longe da média, por isso a probabilidade de durar menos que é um pouco menor que — aqui cerca de . - Dica: em prova, calcule o
, use a tabela (ou calculadora), e se precisar interpolar mostre o passo (como fiz). Se a prova aceita arredondamento, é aceitável; se quer precisão, use .