Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
, ou seja:
Informações dadas:
- A função tempo é
. - As constantes presentes são
(no exponencial) e (na senoide). - Não há imagem nem outros dados.
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace, para sabermos o que estamos calculando e o que significam as variáveis:
onde
é a variável de tempo (origem da função) e
é a variável complexa em que a transformada é expressa. A integral converge para valores de
na região de convergência apropriada (vamos comentar essa região no final).
Passo 3
Apresento duas propriedades muito úteis que vou usar — explicando por que elas valem, de forma direta e simples.
Propriedade 1 (deslocamento exponencial):
Se , então
Se
Justificativa rápida: na definição substitui-se
e obtém-se
Propriedade 2 (multiplicação por
):
Se e as trocas de derivação e integral são permitidas, então
Se
Justificativa rápida: diferenciar
em relação a
dá
Rearranjando, obtemos a propriedade acima.
Passo 4
Conhecimento padrão (fórmula básica): a transformada de Laplace da função seno é
para
. Aqui
é a frequência angular da senoide. Essa fórmula pode ser obtida integrando diretamente, mas é uma transformada muito usada e vale decorá-la.
No nosso caso, com
,
Passo 5
Aplicando a propriedade do deslocamento exponencial (Propriedade 1) com
, a transformada de
é simplesmente a transformada de
com
substituído por
. Assim:
Passo 6
Agora usamos a propriedade da multiplicação por
(Propriedade 2). Queremos
, que é
Substituindo o resultado do passo anterior:
Passo 7
Calculo explícito da derivada. Para simplificar, defino
. Então a função a derivar fica
e
. Derivando:
A derivada
é
. Portanto
Aplicando o sinal negativo da propriedade (veja passo anterior),
Voltando à variável
com
,
Passo 8
Interpretação final e região de convergência rápida: a forma final pode ser escrita também usando
assim:
A região de convergência é
(deslocamento por
exige que a parte real de
seja maior que
para convergência).