Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}\left\{t e^{2 t} \sin 6 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função t e^{2t}\sin 6t, ou seja:
\text{Calcular } \mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}.
Informações dadas:
  • A função tempo é t e^{2t}\sin 6t.
  • As constantes presentes são 2 (no exponencial) e 6 (na senoide).
  • Não há imagem nem outros dados.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace, para sabermos o que estamos calculando e o que significam as variáveis:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde t é a variável de tempo (origem da função) e s é a variável complexa em que a transformada é expressa. A integral converge para valores de s na região de convergência apropriada (vamos comentar essa região no final).

Passo 3

Apresento duas propriedades muito úteis que vou usar — explicando por que elas valem, de forma direta e simples.
Propriedade 1 (deslocamento exponencial):
Se \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a).
Justificativa rápida: na definição substitui-se f(t)e^{at} e obtém-se
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)\,dt=F(s-a).
Propriedade 2 (multiplicação por t):
Se \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=F(s) e as trocas de derivação e integral são permitidas, então
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Justificativa rápida: diferenciar F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt em relação a s
\frac{d}{ds}F(s)=\int_0^\infty \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}\big)f(t)\,dt=-\int_0^\infty t e^{-st} f(t)\,dt=-\mathscr{L}\{t f(t)\}(s).
Rearranjando, obtemos a propriedade acima.

Passo 4

Conhecimento padrão (fórmula básica): a transformada de Laplace da função seno é
\mathscr{L}\{\sin a t\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
para \operatorname{Re}(s)>0. Aqui a é a frequência angular da senoide. Essa fórmula pode ser obtida integrando diretamente, mas é uma transformada muito usada e vale decorá-la.
No nosso caso, com a=6,
\mathscr{L}\{\sin 6t\}(s)=\frac{6}{s^{2}+36}.

Passo 5

Aplicando a propriedade do deslocamento exponencial (Propriedade 1) com a=2, a transformada de
\,e^{2t}\sin 6t é simplesmente a transformada de \sin 6t com s substituído por s-2. Assim:
\mathscr{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s)=\frac{6}{(s-2)^{2}+36}.

Passo 6

Agora usamos a propriedade da multiplicação por t (Propriedade 2). Queremos \mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}, que é
\mathscr{L}\{t\cdot (e^{2t}\sin 6t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\left[\mathscr{L}\{e^{2t}\sin 6t\}(s)\right].
Substituindo o resultado do passo anterior:
\mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s)=-\frac{d}{ds}\left[\frac{6}{(s-2)^{2}+36}\right].

Passo 7

Calculo explícito da derivada. Para simplificar, defino u=s-2. Então a função a derivar fica \dfrac{6}{u^{2}+36} e du/ds=1. Derivando:
\frac{d}{ds}\left[\frac{6}{u^{2}+36}\right]=6\cdot\frac{d}{du}\left(\frac{1}{u^{2}+36}\right)\cdot\frac{du}{ds}.
A derivada \dfrac{d}{du}\left(\dfrac{1}{u^{2}+36}\right) é -\dfrac{2u}{(u^{2}+36)^{2}}. Portanto
\frac{d}{ds}\left[\frac{6}{u^{2}+36}\right]=6\cdot\left(-\frac{2u}{(u^{2}+36)^{2}}\right)= -\frac{12u}{(u^{2}+36)^{2}}.
Aplicando o sinal negativo da propriedade (veja passo anterior),
\mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s) = -\left(-\frac{12u}{(u^{2}+36)^{2}}\right)=\frac{12u}{(u^{2}+36)^{2}}.
Voltando à variável s com u=s-2,
\mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}.

Passo 8

Interpretação final e região de convergência rápida: a forma final pode ser escrita também usando 6^{2}=36 assim:
\mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+6^{2}\big)^{2}}.
A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>2 (deslocamento por e^{2t} exige que a parte real de s seja maior que 2 para convergência).

Resposta

\mathscr{L}\{t e^{2t}\sin 6t\}(s)=\frac{12(s-2)}{\big((s-2)^{2}+36\big)^{2}}

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