Um vidro de janela com condutividade térmica igual a 0,81 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, de 1 \mathrm{~m}^{2} de área de seção transversal, com 3 mm de espessura separa dois ambientes, um interno a uma sala, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} e outro externo à sala, com temperatura de -10^{\circ} \mathrm{C}. Nessas condições o coeficiente médio de transferência de calor por convecção no lado interno é de 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Desprezando a taxa de transferência de calor por radiação, faça o que se pede:
(a) ( 15 pontos) Determine a taxa de calor q, no estado estacionário, que passa pela janela;
(b) ( 20 pontos) Considere agora a mesma situação, substituindo a janela de vidro por uma janela dupla com duas laminas de vidro de 1 \mathrm{~m}^{2} de área, com 3 mm de espessura, separadas por um espaço de 5 mm contendo ar parado, cuja condutividade térmica é igual a 0,0245 \mathrm{W} / \mathrm{mK}. Considere no problema o estado estacionário em ambas situações.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura interna: T_i = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: T_o = -10^\circ\mathrm{C}.
  • Área da janela: A = 1\\ \mathrm{m}^2.
  • Vidro (cada lâmina): condutividade térmica k_{\text{vidro}} = 0{,}81\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura de cada lâmina de vidro: L_{\text{vidro}} = 3\\ \mathrm{mm} = 0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente médio de convecção no lado interno: h_i = 5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Desprezar radiação.
  • Estado estacionário (fluxo de calor constante).
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de calor (q) — em regime estacionário — que passa pela janela simples (uma lâmina de vidro entre os dois ambientes).
(b) Repetir o cálculo quando a janela for dupla: duas lâminas de vidro (cada uma com L_{\text{vidro}} e k_{\text{vidro}}), separadas por um espaço de ar parado de espessura L_{\text{ar}} = 5\\ \mathrm{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m} com k_{\text{ar}} = 0{,}0245\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. A área continua A=1\\ \mathrm{m}^2. Estado estacionário também.
Observação importante (informal): o enunciado só dá o coeficiente de convecção do lado interno ( h_i). Para poder montar o circuito de resistências térmicas completo, é preciso tratar a convecção do lado externo também. Vou explicar e justificar a escolha que farei na seqüência.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (o “porquê” das suposições).
Método: modelar a transferência de calor como uma série de resistências térmicas (análoga à resistência elétrica). Em regime estacionário, a taxa de calor é
q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T = T_i - T_o é a diferença de temperatura total e R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas em série (convecção na face interna, condução através das camadas, convecção na face externa, e no caso da janela dupla também a resistência do ar entre as lâminas).
Fórmulas usadas (e o que cada símbolo significa):
  • Resistência por convecção em uma face: R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA},
onde h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^2K)}) e A é a área da superfície ( \mathrm{m^2}).
  • Resistência por condução através de uma placa plana: R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura ( \mathrm{m}), k a condutividade térmica ( \mathrm{W/(mK)}).
Escolha da suposição para o lado externo: o enunciado não fornece h_o (coeficiente de convecção no lado externo). Para não inventar um número arbitrário, e dado que não há indicação de vento ou outras condições, escolho assumir h_o = h_i = 5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Justificativa: é uma suposição razoável quando o enunciado fornece apenas um coeficiente médio e não especifica diferenças, e permite comparar diretamente efeito da janela simples e dupla. Se h_o fosse muito diferente, os valores finais mudariam, mas o procedimento é o mesmo. (Se o aluno tiver outro valor de h_o, basta substituir onde eu uso h_o abaixo.)

Passo 3

Cálculo da resistência térmica da janela simples (uma lâmina de vidro) e da taxa de calor q.
  1. Calcular as resistências:
  • Resistência convectiva interna:
R_{ci}=\frac{1}{h_i A}=\frac{1}{5\cdot 1}=0{,}200\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência da lâmina de vidro (condução):
R_{\text{vidro}}=\frac{L_{\text{vidro}}}{k_{\text{vidro}}A}=\frac{0{,}003}{0{,}81\cdot 1}=0{,}0037037037\\ \mathrm{K/W}.
  • Resistência convectiva externa (assumida igual à interna: h_o=5\\ \mathrm{W/(m^2K)}):
R_{co}=\frac{1}{h_o A}=\frac{1}{5\cdot 1}=0{,}200\\ \mathrm{K/W}.
  1. Soma das resistências (série):
R_{\text{total, simples}}=R_{ci}+R_{\text{vidro}}+R_{co}=0{,}200+0{,}0037037037+0{,}200=0{,}4037037037\\ \mathrm{K/W}.
  1. Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_o = 20 - (-10) = 30\\ \mathrm{K}.
  1. Taxa de calor (lei análoga a Ohm):
q_{\text{simples}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total, simples}}}=\frac{30}{0{,}4037037037}=74{,}33\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox.}).
Vou também mostrar rapidamente as quedas de temperatura nas resistências (útil para entendimento):
  • Queda na convecção interna: \Delta T_{ci}=q\cdot R_{ci}=74{,}33\cdot 0{,}200=14{,}87\\ \mathrm{K}. Então a temperatura da face interna do vidro é T_{s1}=20-14{,}87=5{,}13^\circ\mathrm{C}.
  • Queda na condução pelo vidro: \Delta T_{vidro}=q\cdot R_{\text{vidro}}=74{,}33\cdot 0{,}0037037\approx0{,}28\\ \mathrm{K}.
  • Queda na convecção externa: cerca de 14{,}87\\ \mathrm{K}. Somando dá os 30\\ \mathrm{K} totais (com pequenas diferenças de arredondamento).

Passo 4

Cálculo para a janela dupla (duas lâminas de vidro + espaço de ar parado), mesma lógica: resistências em série (convecção interna, vidro 1, ar, vidro 2, convecção externa).
  1. Resistência do ar (condução através do espaço de ar parado):
R_{\text{ar}}=\frac{L_{\text{ar}}}{k_{\text{ar}}A}=\frac{0{,}005}{0{,}0245\cdot 1}=0{,}2040816327\\ \mathrm{K/W}.
  1. Resistências individuais (já calculadas algumas):
  • R_{ci}=0{,}200\\ \mathrm{K/W}.
  • cada lâmina de vidro: R_{\text{vidro}}=0{,}0037037037\\ \mathrm{K/W}.
  • R_{co}=0{,}200\\ \mathrm{K/W}.
  1. Soma das resistências totais:
R_{\text{total, dupla}}=R_{ci}+R_{\text{vidro}}+R_{\text{ar}}+R_{\text{vidro}}+R_{co}.
Numericamente,
R_{\text{total, dupla}}=0{,}200+0{,}0037037037+0{,}2040816327+0{,}0037037037+0{,}200=0{,}6114890401\\ \mathrm{K/W}.
  1. Taxa de calor:
q_{\text{dupla}}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total, dupla}}}=\frac{30}{0{,}6114890401}=49{,}09\\ \mathrm{W}\quad(\text{aprox.}).
  1. Temperaturas de superfície (para intuição):
  • Queda na convecção interna: \Delta T_{ci}=q_{\text{dupla}}\cdot 0{,}200\approx 9{,}82\\ \mathrm{K}. Então T_{s1}=20-9{,}82\approx 10{,}18^\circ\mathrm{C} (face interna da primeira lâmina).
  • Queda na primeira lâmina: \approx 0{,}18\\ \mathrm{K} → temperatura entre vidro e ar ~ 10{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • Queda no ar: \approx 10{,}02\\ \mathrm{K} → temperatura antes da segunda lâmina ~ -0{,}02^\circ\mathrm{C}.
  • Queda na segunda lâmina e convecção externa completam até T_o=-10^\circ\mathrm{C}. Isso mostra por que a janela dupla é eficiente: a maior resistência está no ar parado ( R_{\text{ar}}\approx0{,}204\\ \mathrm{K/W}), reduzindo q.

Resposta

(a) q=74{,}33\\ \mathrm{W}
(b) q=49{,}09\\ \mathrm{W}

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