Têm-se duas placas planas, sendo uma delas móvel de área 2,0 \mathrm{m}^{2} e outra extensa e fixa, distanciada de 1 mm . Entre elas há um fluido de viscosidade absoluta 0,001 \mathrm{kgf} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Sabendo-se que a velocidade com que a placa se movimenta é de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} constante, que o perfil de velocidades é linear, calcular o valor da força propulsora F.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: calcular a força propulsora F necessária para manter a placa móvel em movimento constante.
  • Dados fornecidos:
    • Área da placa: A = 2,0\\ \mathrm{m}^{2}.
    • Distância entre placas (gap): h = 1\\ \mathrm{mm} = 0,001\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade da placa móvel: v = 1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Viscosidade absoluta dada: \mu = 0,001\\ \mathrm{kgf}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}.
  • Informação adicional do enunciado: o perfil de velocidades é linear (isso significa que a velocidade varia linearmente no espaço entre as placas).

Passo 2

Entendendo o conceito-chave: viscosidade e tensão de cisalhamento.
  • A viscosidade dinâmica \mu relaciona a tensão de cisalhamento \tau (força por unidade de área que o fluido exerce) com o gradiente de velocidade no fluido pela lei de Newton para fluidos newtonianos:
\tau = \mu\frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (unidade SI: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}),
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular ao movimento (unidade: \mathrm{s}^{-1}).
  • Interpretação física simples: quanto maior \mu ou maior o gradiente de velocidade, maior a “força por área” que o fluido exerce, e maior a força necessária para manter a placa em movimento constante.

Passo 3

Usando o perfil de velocidades linear para obter o gradiente \dfrac{du}{dy}.
  • Com perfil linear entre duas placas onde a placa fixa tem velocidade zero e a móvel tem velocidade v, o gradiente é simplesmente:
\frac{du}{dy}=\frac{v-0}{h}=\frac{v}{h}.
  • Aqui v é a velocidade da placa móvel e h é a separação entre placas.

Passo 4

Relacionando a tensão de cisalhamento à força propulsora sobre a placa.
  • A força de atrito viscosa total que age sobre a placa é a tensão multiplicada pela área:
F=\tau A.
  • Substituindo \tau pela expressão da lei de Newton:
F=\mu\frac{v}{h}\,A.
  • Esta é a fórmula que vamos usar. Explicando cada termo:
    • \mu: viscosidade do fluido (em unidades compatíveis com N e m),
    • v: velocidade da placa móvel,
    • h: distância entre as placas,
    • A: área da placa.

Passo 5

Converter a viscosidade para unidades SI (Pa·s), porque a expressão de F acima dá F em Newtons se \mu estiver em \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}.
  • Dado: \mu = 0,001\\ \mathrm{kgf}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}.
  • Lembrando que 1\\ \mathrm{kgf} = 9,80665\\ \mathrm{N}. Então:
\mu_{\text{SI}} = 0,001\\ \mathrm{kgf}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}\times 9,80665\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kgf}} = 0,00980665\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}.

Passo 6

Calcular numericamente F passo a passo.
  • Primeiro o gradiente de velocidade:
\frac{v}{h}=\frac{1}{0,001}=1000\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Em seguida a tensão de cisalhamento:
\tau=\mu_{\text{SI}}\frac{v}{h}=0,00980665\times 1000=9,80665\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente a força sobre a área A=2,0\\ \mathrm{m}^{2}:
F=\tau A=9,80665\times 2,0=19,6133\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação.
  • Com os dados fornecidos, um arredondamento razoável é:
F\approx 19,6\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação física: essa é a força contínua que deve ser aplicada para vencer o atrito viscoso e manter a placa movendo-se a 1\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} com o perfil linear assumido.
  • Se quiser comparar em unidades de força “kgf”: usando 1\\ \mathrm{kgf}=9,80665\\ \mathrm{N},
F\approx \frac{19,6133}{9,80665}\approx 2,00\\ \mathrm{kgf}.

Resposta

F \approx 19,6\\ \mathrm{N}
F \approx 2,00\\ \mathrm{kgf}

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