Considere uma bola esférica de 20 cm de diâmetro e 800 K de temperatura suspensa no ar por um fio fino. Considerando que a bola é um corpo negro, determine:
(a) ( 10 pontos) O poder emissivo total do corpo negro;
(b) ( 10 pontos) A quantidade total de energia emitida pela bola em 5 minutos;
(c) ( 10 pontos) O poder emissivo espectral do corpo negro a 3 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • Diâmetro da bola: 20\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura da bola: 800\\ \mathrm{K}.
  • A bola é um corpo negro perfeito (emissividade \varepsilon=1).
  • A bola está suspensa no ar por um fio fino (isso significa que podemos tratar só a emissão da superfície esférica, sem considerar bloqueios).
Perguntas:
(a) Determinar o poder emissivo total do corpo negro (poder emissivo total integrado sobre todas as ondas; isto é, a emissão por unidade de área integrada em todo o espectro).
(b) Determinar a quantidade total de energia emitida pela bola em 5 minutos.
(c) Determinar o poder emissivo espectral do corpo negro em \,3\\ \mu\mathrm{m} (isto é, a emissão por unidade de área por unidade de comprimento de onda em \lambda=3\\ \mu\mathrm{m}).
Valores úteis/constantes que serão usados (serão explicados nas etapas seguintes quando aplicados).

Passo 2

Explicação do conceito e fórmula usada para (a): o poder emissivo total (também chamado irradiância total ou emissão total por unidade de área) de um corpo negro está dado pela Lei de Stefan–Boltzmann:
M=\sigma T^{4},
onde:
  • M é o poder emissivo total (unidade: \mathrm{W\,m^{-2}}), i.e., potência emitida por unidade de área, integrada sobre todo o espectro e sobre o semiespaço exterior;
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Vou aplicar essa fórmula com T=800\\ \mathrm{K}. Primeiro calculo T^{4}:
T^{4}=800^{4}.
Calcule passo a passo: 800^{2}=640{,}000 e 800^{4}=(800^{2})^{2}=640{,}000^{2}=409{,}600{,}000{,}000=4{,}096\times10^{11}.
Agora calculo M:
M=\sigma T^{4}=5{,}670374419\times10^{-8}\times4{,}096\times10^{11}.
Multiplicando:
M\approx2{,}3226\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Interpretação: isso significa que cada metro quadrado da superfície da bola, se fosse um corpo negro a 800\\ \mathrm{K}, emite cerca de 2{,}32\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Para passar do poder emissivo por unidade de área ( M) para a potência total emitida pela bola (necessária para (b)), preciso calcular a área da superfície da esfera e multiplicar por M.
Fórmula da área de uma esfera de raio r:
A=4\pi r^{2}.
Do enunciado: diâmetro =20\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio r=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. Então
r^{2}=(0{,}10)^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}},
A=4\pi(0{,}01)=0{,}04\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx0{,}125663706\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a potência total emitida pela bola (potência radiada total, unidade \mathrm{W}):
P = M\cdot A.
Usando os valores calculados:
M\approx2{,}3226\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}},\qquad A\approx0{,}125663706\\ \mathrm{m^{2}}.
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P\approx2{,}3226\times10^{4}\times0{,}125663706\\ \mathrm{W}\approx2{,}918{,}6\\ \mathrm{kW}=2{,}918{,}6\\ \mathrm{W}\times10^{0}.
Arredondando com sensatez:
P\approx2{,}918{,}6\\ \mathrm{W}\times10^{0}\approx2{,}919\\ \mathrm{W}.
(Em notação usual: P\approx2{,}919\\ \mathrm{kW} — atenção: em watts é \approx2{,}919\times10^{3}\\ \mathrm{W}.)

Passo 5

Agora a energia total emitida em 5 minutos. Ideia: energia E é potência vezes tempo (para potência constante):
E = P\cdot t.
Converter 5 minutos para segundos: 5\\ \mathrm{min}=5\times60=300\\ \mathrm{s}.
Com P\approx2{,}918{,}6\\ \mathrm{W},
E\approx2{,}918{,}6\times300\\ \mathrm{J}\approx875{,}580\\ \mathrm{J}\approx8{,}76\times10^{5}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para o item (c) precisamos do poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda em \lambda=3\\ \mu\mathrm{m}. A lei de Planck para corpo negro, na forma do poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda (irradiância espectral) é:
M_{\lambda}(\lambda,T)=\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h c}{\lambda k T}\right)-1},
onde:
  • M_{\lambda} é o poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda (unidade: \mathrm{W\,m^{-2}\,m^{-1}}); às vezes prefere-se \mathrm{W\,m^{-2}\,\mu m^{-1}} dividindo por 10^{6} para passar a unidade por micrômetro;
  • h é a constante de Planck, h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s};
  • c é a velocidade da luz, c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}};
  • k é a constante de Boltzmann, k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}};
  • \lambda é o comprimento de onda pedido; aqui \lambda=3\\ \mu\mathrm{m}=3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m};
  • T é a temperatura ( 800\\ \mathrm{K}).
Comentário prático: frequentemente usa-se as constantes combinadas c_{1}=2\pi h c^{2} e c_{2}=hc/k para simplificar cálculos numéricos; valores úteis:
c_{1}=2\pi h c^{2}\approx3{,}741771852\times10^{-16}\\ \mathrm{W\,m^{2}}, \qquad c_{2}=\frac{h c}{k}\approx1{,}438776877\times10^{-2}\\ \mathrm{m\,K}.

Passo 7

Calcular o expoente x=\dfrac{h c}{\lambda k T}=\dfrac{c_{2}}{\lambda T}. Substituindo:
\lambda T = 3{,}0\times10^{-6}\times800=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K},
x=\frac{c_{2}}{\lambda T}\approx\frac{1{,}438776877\times10^{-2}}{2{,}4\times10^{-3}}\approx5{,}99.
Calcule a exponencial \exp(x)-1. Para x\approx5{,}99 tem-se \exp(x)-1\approx4,00\times10^{2} (valor numérico próximo de 4,00\times10^{2}; usarei o valor numérico calculado abaixo).

Passo 8

Calcular agora M_{\lambda} numericamente:
M_{\lambda}(\lambda=3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m},\,T=800\\ \mathrm{K}) =\frac{c_{1}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{c_{2}}{\lambda T}\right)-1}.
Cálculos intermediários:
\lambda^{5}=(3{,}0\times10^{-6})^{5}=3^{5}\times10^{-30}=243\times10^{-30}=2{,}43\times10^{-28}\\ \mathrm{m^{5}}.
\frac{c_{1}}{\lambda^{5}}\approx\frac{3{,}741771852\times10^{-16}}{2{,}43\times10^{-28}}\approx1{,}541\times10^{12}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,m^{-1}}.
Denominador:
\exp\!\left(\frac{c_{2}}{\lambda T}\right)-1\approx\exp(5{,}99)-1\approx4,00\times10^{2}.
Dividindo:
M_{\lambda}\approx\frac{1{,}541\times10^{12}}{4{,}00\times10^{2}}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,m^{-1}}\approx3{,}85\times10^{9}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,m^{-1}}.
É normalmente mais prático reportar por micrômetro (dividindo por 10^{6}):
M_{\lambda}\approx3{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,\mu m^{-1}}.
Interpretação: isso significa que, por cada metro quadrado de superfície, a emissão na vizinhança de \lambda=3\\ \mu\mathrm{m} é cerca de 3{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{W} por micrômetro de largura de banda.

Passo 9

Resumo em palavras rápidas para a hora da prova (motivação amiga):
  • Use a Lei de Stefan–Boltzmann \,M=\sigma T^{4} para achar a emissão por unidade de área; multiplique por A=4\pi r^{2} para obter potência total da esfera; multiplique por tempo para energia.
  • Use a Lei de Planck na forma \displaystyle M_{\lambda}=\frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1} para a emissão espectral por comprimento de onda.
    Se ficar com pressa na prova, memorize c_{1}=2\pi h c^{2} e c_{2}=hc/k para acelerar os cálculos numéricos. Força aí — vai dar certo!

Resposta

(a) M=\sigma T^{4}\approx2{,}3226\times10^{4}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
(b) E=P\cdot t\approx8{,}76\times10^{5}\\ \mathrm{J}
(c) M_{\lambda}(3\\ \mu\mathrm{m})\approx3{,}85\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,\mu m^{-1}}

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