Considere uma bola esférica de 20 cm de diâmetro e 800 K de temperatura suspensa no ar por um fio fino. Considerando que a bola é um corpo negro, determine:
(a) ( 10 pontos) O poder emissivo total do corpo negro;
(b) ( 10 pontos) A quantidade total de energia emitida pela bola em 5 minutos;
(c) ( 10 pontos) O poder emissivo espectral do corpo negro a
.
(a) ( 10 pontos) O poder emissivo total do corpo negro;
(b) ( 10 pontos) A quantidade total de energia emitida pela bola em 5 minutos;
(c) ( 10 pontos) O poder emissivo espectral do corpo negro a
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados fornecidos:
- Diâmetro da bola:
. - Temperatura da bola:
. - A bola é um corpo negro perfeito (emissividade
). - A bola está suspensa no ar por um fio fino (isso significa que podemos tratar só a emissão da superfície esférica, sem considerar bloqueios).
Perguntas:
(a) Determinar o poder emissivo total do corpo negro (poder emissivo total integrado sobre todas as ondas; isto é, a emissão por unidade de área integrada em todo o espectro).
(b) Determinar a quantidade total de energia emitida pela bola em minutos.
(c) Determinar o poder emissivo espectral do corpo negro em (isto é, a emissão por unidade de área por unidade de comprimento de onda em
).
(a) Determinar o poder emissivo total do corpo negro (poder emissivo total integrado sobre todas as ondas; isto é, a emissão por unidade de área integrada em todo o espectro).
(b) Determinar a quantidade total de energia emitida pela bola em
(c) Determinar o poder emissivo espectral do corpo negro em
Valores úteis/constantes que serão usados (serão explicados nas etapas seguintes quando aplicados).
Passo 2
Explicação do conceito e fórmula usada para (a): o poder emissivo total (também chamado irradiância total ou emissão total por unidade de área) de um corpo negro está dado pela Lei de Stefan–Boltzmann:
onde:
-
é o poder emissivo total (unidade: ), i.e., potência emitida por unidade de área, integrada sobre todo o espectro e sobre o semiespaço exterior; -
é a constante de Stefan–Boltzmann, ; -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
Vou aplicar essa fórmula com
. Primeiro calculo
:
Calcule passo a passo:
e
Agora calculo
:
Multiplicando:
Interpretação: isso significa que cada metro quadrado da superfície da bola, se fosse um corpo negro a
, emite cerca de
.
Passo 3
Para passar do poder emissivo por unidade de área (
) para a potência total emitida pela bola (necessária para (b)), preciso calcular a área da superfície da esfera e multiplicar por
.
Fórmula da área de uma esfera de raio
:
Do enunciado: diâmetro
raio
Então
Passo 4
Calcular a potência total emitida pela bola (potência radiada total, unidade
):
Usando os valores calculados:
Logo
Arredondando com sensatez:
(Em notação usual:
— atenção: em watts é
.)
Passo 5
Agora a energia total emitida em
minutos. Ideia: energia
é potência vezes tempo (para potência constante):
Converter
minutos para segundos:
Com
,
Passo 6
Para o item (c) precisamos do poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda em
. A lei de Planck para corpo negro, na forma do poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda (irradiância espectral) é:
onde:
-
é o poder emissivo espectral por unidade de comprimento de onda (unidade: ); às vezes prefere-se dividindo por para passar a unidade por micrômetro; -
é a constante de Planck, ; -
é a velocidade da luz, ; -
é a constante de Boltzmann, ; -
é o comprimento de onda pedido; aqui ; -
é a temperatura ( ).
Comentário prático: frequentemente usa-se as constantes combinadas
e
para simplificar cálculos numéricos; valores úteis:
Passo 7
Calcular o expoente
. Substituindo:
Calcule a exponencial
. Para
tem-se
(valor numérico próximo de
; usarei o valor numérico calculado abaixo).
Passo 8
Calcular agora
numericamente:
Cálculos intermediários:
Denominador:
Dividindo:
É normalmente mais prático reportar por micrômetro (dividindo por
):
Interpretação: isso significa que, por cada metro quadrado de superfície, a emissão na vizinhança de
é cerca de
por micrômetro de largura de banda.
Passo 9
Resumo em palavras rápidas para a hora da prova (motivação amiga):
- Use a Lei de Stefan–Boltzmann
para achar a emissão por unidade de área; multiplique por para obter potência total da esfera; multiplique por tempo para energia. - Use a Lei de Planck na forma
para a emissão espectral por comprimento de onda.
Se ficar com pressa na prova, memorizee para acelerar os cálculos numéricos. Força aí — vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)