Um reator de paredes rígidas de 10L processa isotermicamente a reação em fase gasosa do tipo:
a
e
. No início o reagente A encontra-se puro no reator. Nesse instante, gás inerte passa a ser alimentado em uma taxa de
. Sabendo-se que k =
mol.min, determine:
a) A conversão após 5 minutos.
b) A pressão total do sistema
(Resposta: 0,5 e 5,44 atm).
a) A conversão após 5 minutos.
b) A pressão total do sistema
(Resposta: 0,5 e 5,44 atm).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados extraídos do enunciado:
- Reator de paredes rígidas (volume constante):
. - Reação gasosa:
. - Condições isotermais a
. - Pressão inicial total:
. - No início só existe o reagente A (ou seja, inicialmente não há B nem inerte dentro do reator).
- Em
inicia-se uma alimentação contínua de gás inerte com taxa molar . - Constante cinética informada:
. - Tempo de interesse:
.
- Reator de paredes rígidas (volume constante):
-
O que o enunciado pede:
(a) A conversão de A após, isto é .
(b) A pressão total do sistema ao final desses 5 minutos,.
Observações úteis que usarei (sem ainda resolver):
- Vou usar a equação dos gases ideais
para relacionar e (onde será usado em unidades compatíveis: ). - Preciso escrever o balanço de matéria para A (e para o inerte, se necessário) e relacionar as mols finais com a pressão através da equação dos gases ideais.
- O enunciado dá a constante
com unidades ; isso é a unidade típica de uma cinética de segunda ordem na forma (onde tem unidades e é em ). Vou adotar essa forma cinética, pois é compatível com as unidades fornecidas para . Se o leitor preferir outra hipótese cinética, o procedimento muda — aqui trabalho com .
Passo 2
Calcular a quantidade inicial de A (mols) e a concentração inicial
.
- Usa-se a equação dos gases ideais no estado inicial:
(porque inicialmente só existe A). - Isolando
:
- Substituindo os valores (usar
, , , ):
- Calculando o denominador:
.
- Concentração inicial (como o volume é constante):
Explanação curta (didática): aqui usamos a equação dos gases ideais para traduzir a informação de pressão inicial em mols iniciais de A. Sempre que estiver em reator de volume fixo conhecer
e
permite obter
direto por
.
Passo 3
Escolha e formulação da lei de velocidade; escrever o balanço de matéria para A.
- Como expliquei antes, devido às unidades de
( ) é natural adotar a lei de velocidade de segunda ordem na forma:
onde:
-
é a velocidade de consumo de A em , -
é a constante dada em , -
é a concentração instantânea de A em . -
Balanço molar diferencial para A no reator (volume constante, não há entrada de A pela alimentação — o inerte não carrega A):
- Como
, substituindo:
- Esse é um EDO separável para
.
Didática: escrever o balanço em termos de moles costuma ser mais direto quando o volume é constante. A forma acima mostra claramente a dependência quadrática de
.
Passo 4
Integrar a equação diferencial para
e obter a conversão
.
- A equação diferencial é:
- Separando variáveis:
- Integrando de
(onde ) até (onde ):
- A primitiva de
é . Logo:
- Reorganizando:
- Assim:
- Conversão definida por
. Usando a expressão:
Didática: para cinética de segunda ordem pura no regime de volume fixo, a integração leva a essa forma característica em que aparece o termo adimensional
. É prático computar esse termo e depois a conversão por uma fração simples.
Passo 5
Calcular numericamente a conversão após
.
- Primeiro calcule o termo
:
- Faça as contas:
- Agora a conversão:
- Arredondando,
(ou ).
Didática final neste passo: veja que a conversão não depende diretamente do inerte que está sendo alimentado, porque a adição do inerte não entra no balanço de A (não há entrada de A). A alimentação de inerte muda o número total de mols no sistema (e portanto a pressão), mas o consumo de A por reação, quando a lei é
, depende só de
que é
e só muda quando
muda por reação. Por isso a equação de
não possui termos explícitos de
.
Passo 6
Calcular as mols de cada espécie no instante
.
- Já temos
e . - Moles de A no tempo
:
- Moles de B formadas: pela estequiometria
, cada mol de A consumido gera 2 mols de B. Mols de B no tempo :
- Mols do inerte adicionados no período de 5 min:
- Logo, o número total de mols no sistema ao tempo
é:
Explicação: somando todas as espécies obtém-se o total de mols que, juntamente com
e
, determina a pressão pelo gás ideal.
Passo 7
Calcular a pressão total final
usando a equação dos gases ideais.
- Usa-se
- Substituindo
, , , :
- Calcule
: .
Interpretação: a pressão aumenta bastante porque foi adicionado 1 mol de inerte a um sistema que começou com apenas
mol de A; além disso a reação aumenta o número de moles (cada mol de A consumido gera 2 mols de B, i.e., ganho líquido de 1 mol por mol de A convertido), aumentando ainda mais a pressão.
Passo 8
Resumo didático final e comentários curtos sobre hipóteses.
-
Resumo do método:
- Usei a equação dos gases ideais para obter
e relacionar pressão total a . - Assumi lei cinética compatível com as unidades de
: . - Fiz o balanço diferencial em
, integrei e obtive e . - Somei mols de A, B e do inerte para obter
e calculei a pressão final por .
- Usei a equação dos gases ideais para obter
-
Observação importante (para prova): sempre confira as unidades de
! As unidades determinam a ordem da reação adotada. Aqui em aponta para segunda ordem com respeito a . Se, em outra versão do problema, viesse com unidades , aí seria primeira ordem e todo o procedimento de integração mudaria.
Resposta
0,415 (ou
)
4,23 atm
4,23 atm