Um reator de paredes rígidas de 10L processa isotermicamente a reação em fase gasosa do tipo: \mathrm{A} \rightarrow 2 \mathrm{~B} a 70^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{P}_{0}=1 \mathrm{~atm}. No início o reagente A encontra-se puro no reator. Nesse instante, gás inerte passa a ser alimentado em uma taxa de 0,2 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}. Sabendo-se que k = 4 \mathrm{~L} / mol.min, determine:
a) A conversão após 5 minutos.
b) A pressão total do sistema
(Resposta: 0,5 e 5,44 atm).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Reator de paredes rígidas (volume constante): V=10\\ \text{L}.
    • Reação gasosa: \mathrm{A}\longrightarrow 2\mathrm{B}.
    • Condições isotermais a 70^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T=70+273,15=343{,}15\\ \text{K}.
    • Pressão inicial total: P_0=1\\ \text{atm}.
    • No início só existe o reagente A (ou seja, inicialmente não há B nem inerte dentro do reator).
    • Em t=0 inicia-se uma alimentação contínua de gás inerte com taxa molar \dot{n}_I=0{,}2\\ \mathrm{mol/min}.
    • Constante cinética informada: k=4\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)}.
    • Tempo de interesse: t=5\\ \text{min}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A conversão de A após 5\\ \text{min}, isto é X(5\\ \text{min}).
    (b) A pressão total do sistema ao final desses 5 minutos, P(5\\ \text{min}).
Observações úteis que usarei (sem ainda resolver):
  • Vou usar a equação dos gases ideais \;P V = nRT\; para relacionar n e P (onde R será usado em unidades compatíveis: R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}).
  • Preciso escrever o balanço de matéria para A (e para o inerte, se necessário) e relacionar as mols finais com a pressão através da equação dos gases ideais.
  • O enunciado dá a constante k com unidades \mathrm{L/(mol\cdot min)}; isso é a unidade típica de uma cinética de segunda ordem na forma r = k C_A^2 (onde r tem unidades \mathrm{mol/(L\cdot min)} e C_A é em \mathrm{mol/L}). Vou adotar essa forma cinética, pois é compatível com as unidades fornecidas para k. Se o leitor preferir outra hipótese cinética, o procedimento muda — aqui trabalho com r = k C_A^2.

Passo 2

Calcular a quantidade inicial de A (mols) e a concentração inicial C_{A0}.
  • Usa-se a equação dos gases ideais no estado inicial: P_0 V = n_{A0} R T (porque inicialmente só existe A).
  • Isolando n_{A0}:
n_{A0}=\frac{P_0 V}{R T}.
  • Substituindo os valores (usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}, P_0=1\\ \mathrm{atm}, V=10\\ \mathrm{L}, T=343{,}15\\ \mathrm{K}):
n_{A0}=\frac{1\cdot 10}{0{,}082057\cdot 343{,}15}\\ \mathrm{mol}.
  • Calculando o denominador: 0{,}082057\cdot 343{,}15 \approx 28{,}1569.
n_{A0}\approx \frac{10}{28{,}1569}\approx 0{,}3552\\ \mathrm{mol}.
  • Concentração inicial (como o volume é constante):
C_{A0}=\frac{n_{A0}}{V}=\frac{0{,}3552}{10}\approx 0{,}03552\\ \mathrm{mol/L}.
Explanação curta (didática): aqui usamos a equação dos gases ideais para traduzir a informação de pressão inicial em mols iniciais de A. Sempre que estiver em reator de volume fixo conhecer n e V permite obter C direto por C=n/V.

Passo 3

Escolha e formulação da lei de velocidade; escrever o balanço de matéria para A.
  • Como expliquei antes, devido às unidades de k ( \mathrm{L/(mol\cdot min)} ) é natural adotar a lei de velocidade de segunda ordem na forma:
r_A = -k C_A^2,
onde:
  • r_A é a velocidade de consumo de A em \mathrm{mol/(L\cdot min)},
  • k é a constante dada em \mathrm{L/(mol\cdot min)},
  • C_A é a concentração instantânea de A em \mathrm{mol/L}.
  • Balanço molar diferencial para A no reator (volume constante, não há entrada de A pela alimentação — o inerte não carrega A):
\frac{d n_A}{d t} = V\cdot r_A = - V k C_A^2.
  • Como C_A = n_A/V, substituindo:
\frac{d n_A}{d t} = -V k \left(\frac{n_A}{V}\right)^2 = -\frac{k}{V} n_A^2.
  • Esse é um EDO separável para n_A(t).
Didática: escrever o balanço em termos de moles costuma ser mais direto quando o volume é constante. A forma acima mostra claramente a dependência quadrática de n_A.

Passo 4

Integrar a equação diferencial para n_A(t) e obter a conversão X(t).
  • A equação diferencial é:
\frac{d n_A}{d t} = -\frac{k}{V} n_A^2.
  • Separando variáveis:
\frac{d n_A}{n_A^2} = -\frac{k}{V}\,dt.
  • Integrando de t=0 (onde n_A=n_{A0}) até t (onde n_A=n_A(t)):
\int_{n_{A0}}^{n_A(t)} \frac{d n_A}{n_A^2} = -\frac{k}{V}\int_{0}^{t} dt.
  • A primitiva de n_A^{-2} é -1/n_A. Logo:
\left[-\frac{1}{n_A}\right]_{n_{A0}}^{n_A(t)} = -\frac{k}{V} t
-\frac{1}{n_A(t)} + \frac{1}{n_{A0}} = -\frac{k}{V} t.
  • Reorganizando:
\frac{1}{n_A(t)} = \frac{1}{n_{A0}} + \frac{k}{V} t.
  • Assim:
n_A(t) = \frac{n_{A0}}{1 + \dfrac{k n_{A0}}{V} t }.
  • Conversão definida por X(t)=\dfrac{n_{A0}-n_A(t)}{n_{A0}} = 1 - \dfrac{n_A(t)}{n_{A0}}. Usando a expressão:
X(t)=1 - \frac{1}{1 + \dfrac{k n_{A0}}{V} t} = \frac{\dfrac{k n_{A0}}{V} t}{1 + \dfrac{k n_{A0}}{V} t}.
Didática: para cinética de segunda ordem pura no regime de volume fixo, a integração leva a essa forma característica em que aparece o termo adimensional \dfrac{k n_{A0} t}{V}. É prático computar esse termo e depois a conversão por uma fração simples.

Passo 5

Calcular numericamente a conversão após t=5\\ \text{min}.
  • Primeiro calcule o termo \dfrac{k n_{A0} t}{V}:
\frac{k n_{A0} t}{V} = \frac{4\\ \mathrm{L/(mol\cdot min)} \times 0{,}3552\\ \mathrm{mol} \times 5\\ \mathrm{min}}{10\\ \mathrm{L}}.
  • Faça as contas:
\frac{k n_{A0} t}{V} = \frac{4\times 0{,}3552 \times 5}{10} = \frac{4\times 1{,}776}{10} = \frac{7{,}104}{10} = 0{,}7104.
  • Agora a conversão:
X(5) = \frac{0{,}7104}{1+0{,}7104} = \frac{0{,}7104}{1{,}7104}\approx 0{,}4153.
  • Arredondando, X(5\\ \text{min})\approx 0{,}415 (ou 41{,}5\%).
Didática final neste passo: veja que a conversão não depende diretamente do inerte que está sendo alimentado, porque a adição do inerte não entra no balanço de A (não há entrada de A). A alimentação de inerte muda o número total de mols no sistema (e portanto a pressão), mas o consumo de A por reação, quando a lei é r=kC_A^2, depende só de C_A que é n_A/V e só muda quando n_A muda por reação. Por isso a equação de n_A(t) não possui termos explícitos de \dot{n}_I.

Passo 6

Calcular as mols de cada espécie no instante t=5\\ \text{min}.
  • Já temos n_{A0}\approx 0{,}3552\\ \mathrm{mol} e X(5)\approx 0{,}4153.
  • Moles de A no tempo t:
n_A(5)=n_{A0}(1-X)=0{,}3552(1-0{,}4153)\approx 0{,}3552\times 0{,}5847\approx 0{,}2077\\ \mathrm{mol}.
  • Moles de B formadas: pela estequiometria \mathrm{A}\to 2\mathrm{B}, cada mol de A consumido gera 2 mols de B. Mols de B no tempo t:
n_B(5)=2\left(n_{A0}-n_A(5)\right)=2\left(n_{A0}X\right)=2\times 0{,}3552\times 0{,}4153\approx 0{,}2950\\ \mathrm{mol}.
  • Mols do inerte adicionados no período de 5 min:
n_I = \dot{n}_I \, t = 0{,}2\\ \mathrm{mol/min}\times 5\\ \mathrm{min}=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • Logo, o número total de mols no sistema ao tempo 5\\ \mathrm{min} é:
n_{\text{total}} = n_A(5)+n_B(5)+n_I \approx 0{,}2077 + 0{,}2950 + 1{,}0 \approx 1{,}5027\\ \mathrm{mol}.
Explicação: somando todas as espécies obtém-se o total de mols que, juntamente com V e T, determina a pressão pelo gás ideal.

Passo 7

Calcular a pressão total final P(5\\ \text{min}) usando a equação dos gases ideais.
  • Usa-se
P(5)\,V = n_{\text{total}} R T \quad\Rightarrow\quad P(5)=\frac{n_{\text{total}} R T}{V}.
  • Substituindo n_{\text{total}}\approx 1{,}5027\\ \mathrm{mol}, R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}, T=343{,}15\\ \mathrm{K}, V=10\\ \mathrm{L}:
P(5)=\frac{1{,}5027\times 0{,}082057\times 343{,}15}{10}\\ \mathrm{atm}.
  • Calcule R T: 0{,}082057\times 343{,}15\approx 28{,}1569.
P(5)\approx \frac{1{,}5027\times 28{,}1569}{10} \approx \frac{42{,}310}{10} \approx 4{,}231\\ \mathrm{atm}.
Interpretação: a pressão aumenta bastante porque foi adicionado 1 mol de inerte a um sistema que começou com apenas \approx 0{,}355 mol de A; além disso a reação aumenta o número de moles (cada mol de A consumido gera 2 mols de B, i.e., ganho líquido de 1 mol por mol de A convertido), aumentando ainda mais a pressão.

Passo 8

Resumo didático final e comentários curtos sobre hipóteses.
  • Resumo do método:
    1. Usei a equação dos gases ideais para obter n_{A0} e relacionar pressão total a n_{\rm total}.
    2. Assumi lei cinética compatível com as unidades de k: r_A=-k C_A^2.
    3. Fiz o balanço diferencial em n_A, integrei e obtive n_A(t) e X(t).
    4. Somei mols de A, B e do inerte para obter n_{\rm total} e calculei a pressão final por PV=nRT.
  • Observação importante (para prova): sempre confira as unidades de k! As unidades determinam a ordem da reação adotada. Aqui k em \mathrm{L/(mol\cdot min)} aponta para segunda ordem com respeito a C_A. Se, em outra versão do problema, k viesse com unidades \mathrm{min^{-1}}, aí seria primeira ordem e todo o procedimento de integração mudaria.

Resposta

0,415 (ou 41{,}5\%)
4,23 atm

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