13.47. Determine a carga
necessária para provocar a falha por flambagem ou por escoamento da coluna W200
de acco A-36 engastada na base e livre no topo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Comprimento da coluna:
. - Apoios: engastada na base e livre no topo (coluna tipo consolo / cantiléver).
- Carga concentrada no topo:
, aplicada com excentricidade lateral em relação ao eixo neutro. - Seção: W200
22 (a designação indica massa linear ). - Material: aço A-36 (usar-se-á
típico e típico abaixo).
- Comprimento da coluna:
- O que a questão pede:
- Determinar a carga
necessária para provocar falha por flambagem (Euler) ou por escoamento (escoamento plástico) da coluna. - Em outras palavras: calcular o
crítico de flambagem e o que provoca escoamento considerando o efeito combinado de compressão axial e momento devido à excentricidade (chamarei esse ). Em seguida comparar qual modo ocorre primeiro.
- Determinar a carga
- Informações adicionais necessárias (que o enunciado não dá numericamente, mas são padrão):
- Módulo de elasticidade do aço:
(usado como valor típico). - Tensão de escoamento do A-36:
(valor típico). - Propriedades geométricas da seção W200×22 necessárias: área
, momento de inércia em torno do eixo de flambagem e a distância da fibra mais afastada ao eixo neutro . Essas propriedades usualmente vêm de tabelas de perfis (não estão numéricas no enunciado). Posso calcular a partir da massa linear, mas e normalmente vêm da tabela da seção.
- Módulo de elasticidade do aço:
Passo 2
Calcular a área da seção a partir da massa linear (informação implícita na designação W200
22). Explico por que e como:
- A massa linear
é . A densidade do aço é . - A área transversal
está relacionada por . Assim:
- Em unidades mm:
Observação didática: converter massa linear em área é prático quando a designação do perfil dá o peso por metro. Se a tabela do perfil der
diretamente, usar o valor tabulado.
Passo 3
Formulação do critério de flambagem (Euler) — explico o conceito e a fórmula:
- Para uma coluna elástica e esbelta, o carregamento crítico de flambagem de Euler é
onde:
-
é o módulo de elasticidade (N/mm^2), -
é o momento de inércia da seção no eixo em que ocorre a flambagem (mm^4), -
é o comprimento da coluna (mm), -
é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de contorno. - Para coluna engastada em uma extremidade e livre na outra (caso do enunciado, cantiléver), o fator é
. Isso significa que o comprimento efetivo é o dobro do comprimento físico. - Portanto, para este problema:
Didática curta: flambagem é uma instabilidade elástica; quanto maior
e
, maior a resistência à flambagem; quanto maior o comprimento efetivo
, mais fácil flambar.
Passo 4
Formulação do critério de escoamento considerando excentricidade inicial — explico o conceito e a dedução:
- A carga excentrada gera um momento na base igual a
(momento devido à excentricidade constante). - A tensão máxima na fibra mais comprimida na seção (considerando superposição de tensão axial e tensão por flexão linear elástica) é
onde:
-
é a distância da linha neutra até a fibra mais afastada (mm), -
é a excentricidade (mm). - A condição de escoamento é
. Assim o valor de que provoca escoamento por essa combinação é
Didática: essa expressão vem da superposição da tensão média
com o termo de flexão
. Se a excentricidade for zero, reduz-se ao caso puramente axial
. Com excentricidade, o momento aumenta a tensão numa face e reduz na oposta.
Passo 5
Observação prática sobre as propriedades da seção: necessidade de
e
.
- Para avaliar numericamente
e são necessários e (propriedades geométricas da W200×22), que geralmente são retirados das tabelas de perfis. O enunciado não forneceu esses números explicitamente. - Sem os valores tabulados de
e não é possível dar os números exatos pedidos. Pelo algoritmo da resolução de provas, escolhi duas alternativas: - Apresentar as fórmulas e o procedimento (já feito acima), de modo que você possa aplicar direto usando os valores da tabela do perfil.
- Mostrar um exemplo numérico usando valores razoáveis típicos assumidos para a W200×22, deixando explícito que são suposições (então substitua pelos valores tabulados se tiver a tabela).
Vou seguir a alternativa (2) para fechar com um exemplo numérico ilustrativo — indicarei claramente quais valores estou assumindo.
Assumptions (valores assumidos, substituir por valores tabulados quando disponíveis):
-
. -
. - Usamos
(calculado no Passo 2). - Assumo, apenas para exemplo, as propriedades geométricas (valores aproximados que tipicamente estão na mesma ordem de grandeza de perfis com
de alma): -
(momento de inércia em torno do eixo forte; valor assumido para fins de exemplo). -
(meia altura aproximada de uma seção com altura total ≈200 mm).
-
- Lembrete: se você tiver a tabela da W200×22, use os valores exatos de
e da tabela no lugar dessas suposições.
Passo 6
Cálculo numérico (usando as suposições indicadas). Vou mostrar as contas com unidades e passos fáceis de acompanhar.
- Comprimento e fator:
- Carga crítica de flambagem:
Calculemos os termos (apenas aritmética):
- Carga que causa escoamento por combinação axial+flexão:
Substituindo:
Somando:
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Passo 7
Comparação e conclusão prática (com as suposições feitas):
- Com os valores assumidos de
e , obtemos: -
(escoamento devido a compressão combinada com flexão pela excentricidade). -
(flambagem de Euler).
-
- Como
, a coluna, nesse exemplo, escoaria antes de flambear; portanto o modo de falha governante é o escoamento e a carga de projeto máxima admissível (sem falha) é (usar esse valor com cautela — veja abaixo).
Importante: estes números numéricos são um exemplo usando valores assumidos para
e
. Para resposta definitiva em prova/obra você deve:
- Usar os valores tabulados exatos da seção W200×22 (área
, momento de inércia , , raios de giração etc.); - Repetir os cálculos com esses valores; o procedimento e fórmulas são exatamente os mostrados nos passos anteriores.
Força-te: se me der os valores tabulados de
e
(ou a tabela da W200×22), eu calculo os números exatos rapidinho para você — mas se estiver em prova, pegue da tabela do enunciado/tabela de perfis e faça exatamente os passos 3–6.
Resposta
Modo de falha governante (com os valores assumidos): escoamento (