13.47. Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou por escoamento da coluna W200 \times 22 de acco A-36 engastada na base e livre no topo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Comprimento da coluna: L=2,4\\ \text{m}.
    • Apoios: engastada na base e livre no topo (coluna tipo consolo / cantiléver).
    • Carga concentrada no topo: P, aplicada com excentricidade lateral e=25\\ \text{mm} em relação ao eixo neutro.
    • Seção: W200 \times 22 (a designação indica massa linear 22\\ \text{kg/m}).
    • Material: aço A-36 (usar-se-á F_y típico e E típico abaixo).
  • O que a questão pede:
    • Determinar a carga P necessária para provocar falha por flambagem (Euler) ou por escoamento (escoamento plástico) da coluna.
    • Em outras palavras: calcular o P crítico de flambagem \,P_{cr}\, e o P que provoca escoamento considerando o efeito combinado de compressão axial e momento devido à excentricidade (chamarei esse P\_y). Em seguida comparar qual modo ocorre primeiro.
  • Informações adicionais necessárias (que o enunciado não dá numericamente, mas são padrão):
    • Módulo de elasticidade do aço: \,E\approx 200{,}000\\ \text{N/mm}^2 (usado como valor típico).
    • Tensão de escoamento do A-36: \,F_y\approx 250\\ \text{N/mm}^2 (valor típico).
    • Propriedades geométricas da seção W200×22 necessárias: área \,A, momento de inércia em torno do eixo de flambagem I e a distância da fibra mais afastada ao eixo neutro c. Essas propriedades usualmente vêm de tabelas de perfis (não estão numéricas no enunciado). Posso calcular A a partir da massa linear, mas I e c normalmente vêm da tabela da seção.

Passo 2

Calcular a área da seção a partir da massa linear (informação implícita na designação W200 \times22). Explico por que e como:
  • A massa linear \mu é 22\\ \text{kg/m}. A densidade do aço é \rho\approx 7{,}85\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3.
  • A área transversal \,A está relacionada por \mu=\rho A. Assim:
A=\frac{\mu}{\rho}=\frac{22\\ \text{kg/m}}{7{,}85\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3}=2{,}804\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
  • Em unidades mm:
A=2{,}804\times10^{-3}\\ \text{m}^2=2804\\ \text{mm}^2.
Observação didática: converter massa linear em área é prático quando a designação do perfil dá o peso por metro. Se a tabela do perfil der A diretamente, usar o valor tabulado.

Passo 3

Formulação do critério de flambagem (Euler) — explico o conceito e a fórmula:
  • Para uma coluna elástica e esbelta, o carregamento crítico de flambagem de Euler é
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},
onde:
  • E é o módulo de elasticidade (N/mm^2),
  • I é o momento de inércia da seção no eixo em que ocorre a flambagem (mm^4),
  • L é o comprimento da coluna (mm),
  • K é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de contorno.
  • Para coluna engastada em uma extremidade e livre na outra (caso do enunciado, cantiléver), o fator é K=2{,}0. Isso significa que o comprimento efetivo (K L) é o dobro do comprimento físico.
  • Portanto, para este problema:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(2L)^2}.
Didática curta: flambagem é uma instabilidade elástica; quanto maior I e E, maior a resistência à flambagem; quanto maior o comprimento efetivo K L, mais fácil flambar.

Passo 4

Formulação do critério de escoamento considerando excentricidade inicial — explico o conceito e a dedução:
  • A carga excentrada gera um momento na base igual a M=P e (momento devido à excentricidade constante).
  • A tensão máxima na fibra mais comprimida na seção (considerando superposição de tensão axial e tensão por flexão linear elástica) é
\sigma_{max}=\frac{P}{A}+\frac{M\,c}{I}=\frac{P}{A}+\frac{P e\,c}{I} = P\!\left(\frac{1}{A}+\frac{e c}{I}\right),
onde:
  • c é a distância da linha neutra até a fibra mais afastada (mm),
  • e é a excentricidade (mm).
  • A condição de escoamento é \sigma_{max}=F_y. Assim o valor de P que provoca escoamento por essa combinação é
P_{y}=\frac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e c}{I}}.
Didática: essa expressão vem da superposição da tensão média \,P/A com o termo de flexão \,M c / I. Se a excentricidade for zero, reduz-se ao caso puramente axial P_y = F_y A. Com excentricidade, o momento aumenta a tensão numa face e reduz na oposta.

Passo 5

Observação prática sobre as propriedades da seção: necessidade de I e c.
  • Para avaliar numericamente \,P_{cr} e \,P_{y} são necessários I e c (propriedades geométricas da W200×22), que geralmente são retirados das tabelas de perfis. O enunciado não forneceu esses números explicitamente.
  • Sem os valores tabulados de I e c não é possível dar os números exatos pedidos. Pelo algoritmo da resolução de provas, escolhi duas alternativas:
    1. Apresentar as fórmulas e o procedimento (já feito acima), de modo que você possa aplicar direto usando os valores da tabela do perfil.
    2. Mostrar um exemplo numérico usando valores razoáveis típicos assumidos para a W200×22, deixando explícito que são suposições (então substitua pelos valores tabulados se tiver a tabela).
Vou seguir a alternativa (2) para fechar com um exemplo numérico ilustrativo — indicarei claramente quais valores estou assumindo.
Assumptions (valores assumidos, substituir por valores tabulados quando disponíveis):
  • E=200{,}000\\ \text{N/mm}^2.
  • F_y=250\\ \text{N/mm}^2.
  • Usamos A=2804\\ \text{mm}^2 (calculado no Passo 2).
  • Assumo, apenas para exemplo, as propriedades geométricas (valores aproximados que tipicamente estão na mesma ordem de grandeza de perfis com 200\\ \text{mm} de alma):
    • I=4{,}72\times10^{6}\\ \text{mm}^4 (momento de inércia em torno do eixo forte; valor assumido para fins de exemplo).
    • c=100\\ \text{mm} (meia altura aproximada de uma seção com altura total ≈200 mm).
  • Lembrete: se você tiver a tabela da W200×22, use os valores exatos de I e c da tabela no lugar dessas suposições.

Passo 6

Cálculo numérico (usando as suposições indicadas). Vou mostrar as contas com unidades e passos fáceis de acompanhar.
  1. Comprimento e fator:
L=2{,}4\\ \text{m}=2400\\ \text{mm},\qquad K=2{,}0,\qquad (K L)=4800\\ \text{mm}.
  1. Carga crítica de flambagem:
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} =\frac{\pi^2\cdot 200{,}000\\ \text{N/mm}^2 \cdot 4{,}72\times10^{6}\\ \text{mm}^4}{(4800\\ \text{mm})^2}.
Calculemos os termos (apenas aritmética):
\pi^2\cdot200{,}000\cdot4{,}72\times10^{6}\approx 9{,}8696\cdot(9{,}44\times10^{11})\approx 9{,}32\times10^{12}
(K L)^2=4800^2=23{,}040{,}000\\ \text{mm}^2.
P_{cr}\approx\frac{9{,}32\times10^{12}}{2{,}304\times10^{7}} \approx 4{,}045\times10^{5}\\ \text{N}=404{,}5\\ \text{kN}.
  1. Carga que causa escoamento por combinação axial+flexão:
P_{y}=\frac{F_y}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e c}{I}}.
Substituindo:
\frac{1}{A}=\frac{1}{2804\\ \text{mm}^2}\approx 3{,}566\times10^{-4}\\ \text{mm}^{-2},
\frac{e c}{I}=\frac{25\\ \text{mm}\cdot100\\ \text{mm}}{4{,}72\times10^{6}\\ \text{mm}^4}=\frac{2500}{4{,}72\times10^{6}}\approx 5{,}297\times10^{-4}\\ \text{mm}^{-2}.
Somando:
\frac{1}{A}+\frac{e c}{I}\approx 3{,}566\times10^{-4}+5{,}297\times10^{-4}=8{,}863\times10^{-4}\\ \text{mm}^{-2}.
Logo
P_{y}=\frac{250\\ \text{N/mm}^2}{8{,}863\times10^{-4}\\ \text{mm}^{-2}}\approx 2{,}821\times10^{5}\\ \text{N}=282{,}1\\ \text{kN}.

Passo 7

Comparação e conclusão prática (com as suposições feitas):
  • Com os valores assumidos de I e c, obtemos:
    • P_{y}\approx 282{,}1\\ \text{kN} (escoamento devido a compressão combinada com flexão pela excentricidade).
    • P_{cr}\approx 404{,}5\\ \text{kN} (flambagem de Euler).
  • Como P_{y}<P_{cr}, a coluna, nesse exemplo, escoaria antes de flambear; portanto o modo de falha governante é o escoamento e a carga de projeto máxima admissível (sem falha) é P\approx 282{,}1\\ \text{kN} (usar esse valor com cautela — veja abaixo).
Importante: estes números numéricos são um exemplo usando valores assumidos para I e c. Para resposta definitiva em prova/obra você deve:
  • Usar os valores tabulados exatos da seção W200×22 (área A, momento de inércia I, c, raios de giração etc.);
  • Repetir os cálculos com esses valores; o procedimento e fórmulas são exatamente os mostrados nos passos anteriores.
Força-te: se me der os valores tabulados de I e c (ou a tabela da W200×22), eu calculo os números exatos rapidinho para você — mas se estiver em prova, pegue da tabela do enunciado/tabela de perfis e faça exatamente os passos 3–6.

Resposta

P_{y}\approx 282{,}1\\ \text{kN}
P_{cr}\approx 404{,}5\\ \text{kN}
Modo de falha governante (com os valores assumidos): escoamento ( P_{y}<P_{cr} ).

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