Uma viga retangular de aço é utilizada em uma estrutura e está submetida a uma carga que gera uma força cortante de 30 kN em uma seção específica. A viga possui uma seção transversal retangular com largura 50 mm e altura de 100 mm . A força cortante é distribuída ao longo da seção, resultando em uma tensão de cisalhamento que varia de zero nas superfícies externas até um valor máximo no eixo neutro.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que vou responder (peguei todos os dados do enunciado):
  • Força cortante na seção: V = 30\,\text{kN} = 30000\,\text{N}.
  • Seção transversal: retângulo com largura b = 50\,\text{mm} = 0{,}05\,\text{m} e altura h = 100\,\text{mm} = 0{,}10\,\text{m}.
  • O enunciado descreve que a tensão de cisalhamento varia de zero nas superfícies externas até um máximo no eixo neutro.
Perguntas que vou responder:
  1. Obter a expressão da distribuição da tensão de cisalhamento \tau(y) ao longo da altura (onde y é a coordenada vertical medida a partir do eixo neutro).
  2. Calcular o valor numérico da tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} (no eixo neutro).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para vigas na flexão com esforço cortante V, a tensão de cisalhamento média não dá a variação através da seção. A fórmula que relaciona a força cortante com a tensão de cisalhamento local é a fórmula de Navier (ou fórmula de cisalhamento para vigas):
\tau(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,t}
onde:
  • \tau(y) é a tensão de cisalhamento média na fibra localizada à distância y do eixo neutro (unidades: Pa).
  • V é a força cortante interna na seção (unidades: N).
  • Q(y) é o primeiro momento da área da parte da seção situada a um dos lados da fibra (unidades: m^3). Em palavras: multiplica-se a área acima (ou abaixo) da linha onde se quer a tensão pelo braço até o eixo neutro.
  • I é o momento de inércia da seção em torno do eixo neutro (unidades: m^4).
  • t é a largura (espessura) da seção através da qual a tensão de cisalhamento age naquela linha (unidades: m). Para uma seção retangular, t=b (constante).
  • Intuição: V tenta “arrastar” a fatia da viga; Q mede quanto material está disponível para resistir, I e t ajustam a distribuição.
Vou aplicar essa fórmula ao retângulo, calculando I, Q(y) e t explicitamente.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia I, da área e de Q(y) para a seção retangular:
  • Área total da seção:
A = b h.
Com os números:
A = 0{,}05\cdot 0{,}10 = 0{,}005\\ \text{m}^2.
  • Momento de inércia em torno do eixo neutro horizontal (eixo que corta a seção ao meio):
I = \frac{b h^3}{12}.
Substituindo:
I = \frac{0{,}05\cdot (0{,}10)^3}{12} = \frac{0{,}05\cdot 1{,}0\times10^{-3}}{12} = \frac{5{,}0\times10^{-5}}{12} = 4{,}166666\ldots\times10^{-6}\\ \text{m}^4.
Para ficar limpo, mantenho a forma simbólica para as simplificações seguintes e uso esse valor para conferência numérica ao final.
  • Primeiro momento de área Q(y):
    Escolho a convenção y medida a partir do eixo neutro, positiva para cima. Para uma linha situada a coordenada y (com -h/2\le y \le h/2), tomo a área acima dessa linha (do nível y até o topo h/2). A altura dessa área é \displaystyle a = \frac{h}{2}-y. A área acima é A'(y)=b\left(\frac{h}{2}-y\right). O centróide dessa área está a uma distância do eixo neutro:
\bar{y} = \frac{\left(\dfrac{h}{2}+y\right)}{2},
portanto o primeiro momento é
Q(y)=A'(y)\,\bar{y}=b\left(\frac{h}{2}-y\right)\cdot\frac{\left(\dfrac{h}{2}+y\right)}{2}.
Simplificando algebricamente:
Q(y)=\frac{b}{2}\left(\frac{h}{2}-y\right)\left(\frac{h}{2}+y\right)=\frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)=\frac{b}{8}\left(h^2-4y^2\right).
Essa expressão é válida para -\dfrac{h}{2}\le y\le \dfrac{h}{2}. Note que em y=\pm h/2 (superfícies externas) temos Q=0, como esperado.

Passo 4

Montagem da expressão da tensão \tau(y) substituindo I, Q(y) e t=b:
Partindo de
\tau(y)=\frac{V\,Q(y)}{I\,t},
substituo Q(y)=\dfrac{b}{8}\left(h^2-4y^2\right), I=\dfrac{b h^3}{12} e t=b:
\tau(y)=\frac{V\cdot \dfrac{b}{8}\left(h^2-4y^2\right)}{\dfrac{b h^3}{12}\cdot b}.
Simplifico passo a passo (cancelando um b entre numerador e denominador):
\tau(y)=\frac{V\left(h^2-4y^2\right)}{8}\cdot\frac{12}{b h^3}=\frac{3V}{2 b h^3}\left(h^2-4y^2\right).
Colocando numa forma mais interpretável:
\tau(y)=\frac{3V}{2 b h}\left(1-\frac{4y^2}{h^2}\right).
Esta é a distribuição parabólica clássica da tensão de cisalhamento em uma seção retangular: máxima no eixo neutro ( y=0) e zero nas superfícies externas ( y=\pm h/2).

Passo 5

Cálculo numérico da tensão máxima \tau_{\max} (no eixo neutro, y=0):
  • Usando a fórmula:
\tau_{\max}=\tau(0)=\frac{3V}{2 b h}.
Substituindo números:
\tau_{\max}=\frac{3\cdot 30000}{2\cdot 0{,}05\cdot 0{,}10}\\ \text{Pa}.
Faço as contas passo a passo:
\text{Denominador }=2\cdot 0{,}05\cdot 0{,}10=0{,}01,
\text{Numerador }=3\cdot 30000 = 90000,
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\tau_{\max}=\frac{90000}{0{,}01}=9{,}000{,}000\\ \text{Pa}=9{,}0\\ \text{MPa}.
Verificação rápida: a tensão média \tau_{\text{média}}=V/A=30000/0{,}005=6{,}0\\ \text{MPa}é e de fato \tau_{\max}=\tfrac{3}{2}\tau_{\text{média}}=1{,}5\cdot 6{,}0=9{,}0\\ \text{MPa}é.

Passo 6

Exemplo numérico secundário (para fixar a curva): tensão a y=h/4
  • y=\dfrac{h}{4}=0{,}025\,\text{m}. Pela fórmula:
\tau\!\left(\frac{h}{4}\right)=\frac{3V}{2 b h}\left(1-\frac{4\left(\dfrac{h}{4}\right)^2}{h^2}\right) =\tau_{\max}\left(1-\frac{4\cdot h^2/16}{h^2}\right)=\tau_{\max}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}\tau_{\max}.
Numericamente:
\tau\!\left(\frac{h}{4}\right)=\frac{3}{4}\cdot 9{,}0\\ \text{MPa}=6{,}75\\ \text{MPa}.
Isso mostra a variação parabólica: de 9{,}0\\ \text{MPa} no centro até 0 na superfície.

Passo 7

Resumo interpretativo e dicas para prova (rápido, prático e incentivador):
  • Regra prática: para seção retangular a tensão máxima de cisalhamento é \tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}. Isso é muito útil em prova para obter um valor rápido.
  • Lembre-se de usar unidades consistentes: aqui trabalhei em metros e Newtons para obter Pascal (ou MPa).
  • Não se assuste com Q e I: para formas simples (retângulo, círculo) há fórmulas prontas. Para retângulo o desenvolvimento deu uma parábola em y, fácil de memorizar se souber a derivação curta que mostrei.
  • Você está indo bem — respira, revisa esses passos e pratica mais um exemplo parecido que você vai dominar esse tópico!

Resposta

\displaystyle \tau(y)=\frac{3V}{2\,b\,h}\left(1-\frac{4y^2}{h^2}\right),\quad -\frac{h}{2}\le y\le\frac{h}{2}.
\displaystyle \tau_{\max}=\tau(0)=9{,}0\\ \text{MPa}.

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