A viga de concreto armado é feita com duas hastes de aço de varnothing 25 mm. Se as tensões admissíveis no aço e no concreto são, respectivamente, sigma aço =250 MPaç e sigma concreto =20 Mpa, determine o momento máximo M que pode ser aplicado à seção. Considere E aço =210 GPaç e E concreto =21 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que a gente vai usar:
– Enunciado: temos uma viga de concreto armado reforçada com duas barras de aço ⌀25 mm. As tensões admissíveis são σₐço = 250 MPa e σ𝚌𝚘𝚗𝚌𝚛𝚎𝚝𝚘 = 20 MPa. Os módulos de elasticidade são Eₐço = 210 GPa e E𝚌𝚘𝚗𝚌𝚛𝚎𝚝𝚘 = 21 GPa. Precisamos achar o momento máximo M que dá pra aplicar sem ultrapassar nenhuma das tensões admissíveis.
– Conteúdo: teoria de flexão composta e seção transformada.
– O que vamos precisar:
  1. razão modular n = Eₐço/E𝚌𝚘ₙ𝚌
  2. área de aço As
  3. transformar a área de aço em “área equivalente de concreto” (As′=n·As)
  4. achar o centroide da seção transformada
  5. calcular o momento de inércia da seção transformada
  6. usar M = σ·I/y para concreto e para aço e, por fim, tomar o menor M (controle pela tensão limite).
Observação importante: para um valor numérico de M você precisa saber a largura b e a altura h da viga (ou a posição exata das barras). Na falta desses dados, a gente vai montar a fórmula geral de M em função de b, h e da distância d do centro das barras até a face comprimida.

Passo 2

  1. razão modular
n ;=;Erm açoErm conc ;=;210;GPa21;GPa ;=;10 ç
  1. área total de aço (duas barras de ⌀ 25 mm = 0,025 m)
As ;=;2;times;pi,(0025)^24 ;=;2;times;picdot00006254 ;=;00009817;m^2
  1. área transformada (em concreto)
As' ;=;n,As ;=;10times00009817 ;=;0009817;m^2

Passo 3

Supondo que:
– b = largura da viga;
– h = altura total da viga;
– as barras ficam a uma distância d da fibra comprimida (superior).
A área de concreto é bar y ;=; Ac,(h/2);+;As',d Ac;+;As' ;=; b,h,h2 ;+;nAs,d b,h ;+; nAs .
O ȳ (distância do topo comprimido até o centro de gravidade da seção transformada) é

Passo 4

  1. momento de inércia do retângulo de concreto em relação ao CG da seção completa (eixo horizontal):
Ic ;=;b,h^312
  1. teorema dos eixos paralelos para as barras (transformadas):
Is' ;=;As',(d - bar y)^2
Portanto, o momento de inércia total da seção transformada é
It ;=;Ic ;+; Is' ;=; b,h^312 ;+; n,As,(d - bar y)^2

Passo 5

Agora a gente tira M admissível tanto pelo concreto (na fibra comprimida) quanto pelo aço (na fibra tracionada) e depois escolhe o menor valor.
  1. controle pelo concreto:
Mc,max ;=; sigmarm conc,Itbar y ;=; 20,MPa;cdot;Itbar y
  1. controle pelo aço:
Ma,max ;=; sigmarm aço,It(;h - bar y;) ;=; 250,MPa;cdot;It,h - bar y, ç
Logo, o momento máximo permitido é
boxed Mmax =minl(Mc,max,,Ma,maxr)

Resposta

De forma geral, sem valores de b, h e d, o momento máximo é dado por
boxed Mmax =minl,20,MPa,Itbar y;,; 250,MPa,Ith-bar yr onde n=10, As=2pi(0025)^2/4, As'=nAs, bar y=dfracb,h,tfrach2+As',db,h+As', It=dfracb,h^312+As',(d-bar y)^2,
Basta, a partir daí, inserir os valores de b, h e d da viga e escolher o menor dos dois M.

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