Viga continua de dois vãos iguais com carga uniformemente distribuída q
Considere uma viga contínua de dois vãos iguais (cada vão de comprimento L ), engastada simplesmente nos apoios externos e apoiada no apoio intermediário (viga contínua com três apoios: A-B-C, sendo A B=B C=L ). Ambas as lajes/spans suportam uma carga uniformemente distribuída q sobre cada vão. Determinar os momentos fletores de apoio (momento negativo no apoio intermediário) e os momentos máximos positivos nas metades dos vãos.
Passo 1
O enunciado dá uma viga contínua com três apoios A\!-\!B\!-\!C, com dois vãos iguais AB=BC=L. Cada vão tem uma carga uniformemente distribuída q ao longo de seu comprimento. O que se pede:
Determinar o momento fletor no apoio intermediário B (momento negativo, hogging).
Determinar os momentos positivos nas metades dos vãos (ou seja, o momento em x=L/2 em cada vão).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Vão AB: comprimento L, carga q distribuída.
Vão BC: comprimento L, carga q distribuída.
Apoios externos A e C são simples (momento nulo nesses apoios).
Simetria do problema (vãos iguais, cargas iguais): o momento em A e C é zero e o momento em B será simetricamente negativo.
Passo 2
Escolhi usar o Teorema dos Três Momentos (Clapeyron) porque é direto para vigas contínuas com três apoios e aproveita bem a simetria do problema. Vou escrever a formulação do teorema e explicar cada termo.
Enunciado prático do teorema para três apoios A,B,C com comprimentos L_1=L e L_2=L:
M_A,M_B,M_C são os momentos nos apoios A,B,C (positivos conforme convensão).
m_1(x) é a função de momento no vão AB quando esse vão é considerado simplesmente apoiado (sem momentos de apoio), causada somente pela carga q. Similar para m_2(x) em BC.
As integrais \int m(x)\,x\,dx são os “primeiros momentos” da distribuição de momento do vão considerado como simplesmente apoiado. O fator -6 e os comprimentos vêm da dedução clássica do teorema.
Vou agora calcular essas integrais para uma carga uniforme em um vão simplesmente apoiado.
Passo 3
Calcular m(x) para um vão simplesmente apoiado com carga uniforme q.
Para um vão simplesmente apoiado de comprimento L, com carga q por unidade de comprimento, o momento fletor no ponto a distância x da extremidade esquerda é
m(x)=\frac{q\,x\,(L-x)}{2}.
(Esse resultado vem da expressão padrão do momento numa viga simplesmente apoiada sob carregamento uniforme; em particular o momento máximo no meio é qL^2/8.)
(Interpretação física rápida: o apoio intermediário gera um momento de vaivém que reduz o momento positivo nos meios de vão.)
Passo 5
Determinar o momento fletor ao longo de um vão (por exemplo AB) e o momento na metade do vão x=L/2.
Usamos superposição: o momento em um ponto x do vão com momentos de extremidade M_A e M_B é soma da contribuição linear dos momentos de extremidade mais o momento do vão simplesmente apoiado:
Portanto o momento positivo na metade do vão é \dfrac{qL^2}{16}.
Observação adicional (útil para prova): o ponto de momento positivo máximo dentro do vão não é exatamente o meio; derivando M(x) obtém-se que o máximo positivo ocorre em x=\dfrac{3L}{8} com valor M_{\max}=\dfrac{9}{128}\,qL^2. Mas como a questão pediu explicitamente o momento nas metades dos vãos, o valor relevante é \dfrac{qL^2}{16}.