Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva y=4 x-x^{2} e pelo eixo \operatorname{dos} x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva \,y=4x-x^{2}\, e pelo eixo dos x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A curva que limita a região superior é \,y=4x-x^{2}\,.
  • A região é limitada inferiormente pelo eixo dos x (ou seja, por \,y=0\,).
  • Precisamos encontrar as coordenadas do centróide, isto é \,(\bar{x},\bar{y}), do domínio planar descrito acima.
  • Para determinar os limites de integração precisamos saber onde a curva corta o eixo dos x (pontos de interseção).

Passo 2

Achar os pontos de interseção entre a curva e o eixo dos x: resolver \,4x-x^{2}=0.
Fatorando temos:
4x-x^{2}=x(4-x)=0,
logo as raízes são \,x=0\, e \,x=4\,.
Portanto a região está entre \,x=0\, e \,x=4\,, com a curva acima do eixo x.

Passo 3

Calculamos a área A da região usando a integral definida de \,y\, em relação a \,x:
A=\int_{0}^{4} (4x-x^{2})\,dx.
Explico a fórmula: a área sob uma curva positiva y=f(x) entre a e b é \int_a^b f(x)\,dx. Aqui f(x)=4x-x^{2}, a=0, b=4.
Agora fazemos a integração passo a passo:
\int (4x-x^{2})\,dx = \int 4x\,dx - \int x^{2}\,dx = 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3}.
Avalia em 0 e 4:
A = \Big[2x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{4} = \big(2\cdot 4^{2} - \frac{4^{3}}{3}\big) - 0 = 2\cdot 16 - \frac{64}{3}.
A = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}.

Passo 4

Formula do coordenada \bar{x}: para uma região plana limitada superiormente por y=f(x) e inferiormente por y=0 entre a e b, a abscissa do centróide é
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx.
Explicação da fórmula: \int_a^b x f(x)\,dx é o momento da área em relação ao eixo y; dividindo pelo total da área A obtemos a coordenada média ponderada \bar{x}.
Aplicando ao nosso caso ( f(x)=4x-x^{2}, a=0, b=4):
\int_{0}^{4} x(4x-x^{2})\,dx = \int_{0}^{4} (4x^{2}-x^{3})\,dx.
Integramos termo a termo:
\int (4x^{2}-x^{3})\,dx = \frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}.
Avalia em 0 e 4:
\Big[\frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}\Big]_{0}^{4} = \frac{4\cdot 64}{3} - \frac{256}{4} = \frac{256}{3} - 64.
\frac{256}{3} - 64 = \frac{256-192}{3} = \frac{64}{3}.
Agora divide pelo A=\dfrac{32}{3}:
\bar{x}=\frac{1}{A}\cdot \frac{64}{3} = \frac{64/3}{32/3} = \frac{64}{32} = 2.

Passo 5

Fórmula da coordenada \bar{y}: para a mesma configuração (região entre y=f(x)\ge 0 e y=0),
\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.
Explicação da fórmula: \int_a^b f(x)^{2}\,dx é proporcional ao momento em relação ao eixo x; o fator \tfrac{1}{2A} aparece na dedução geométrica (é a média da altura ao quadrado dividida por 2A) — não se preocupe com a origem intutiva agora, o uso é padrão em cálculo de centróides.
Calculamos [f(x)]^{2} com f(x)=4x-x^{2}:
(4x-x^{2})^{2} = x^{4} - 8x^{3} + 16x^{2}.
Integrando de 0 a 4:
\int_{0}^{4} (x^{4} - 8x^{3} + 16x^{2})\,dx = \Big[\frac{x^{5}}{5} - 2x^{4} + \frac{16x^{3}}{3}\Big]_{0}^{4}.
Avalia em 4:
\frac{4^{5}}{5} - 2\cdot 4^{4} + \frac{16\cdot 4^{3}}{3} = \frac{1024}{5} - 2\cdot 256 + \frac{16\cdot 64}{3}.
= \frac{1024}{5} - 512 + \frac{1024}{3}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 15:
\frac{3072}{15} - \frac{7680}{15} + \frac{5120}{15} = \frac{512}{15}.
Portanto \displaystyle \int_{0}^{4} [f(x)]^{2}\,dx = \frac{512}{15}.
Agora:
\bar{y}=\frac{1}{2A}\cdot \frac{512}{15} = \frac{1}{2\cdot (32/3)}\cdot \frac{512}{15} = \frac{512/15}{64/3}.
\bar{y} = \frac{512}{15}\cdot\frac{3}{64} = \frac{512}{64}\cdot\frac{3}{15} = 8\cdot\frac{3}{15} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}.

Passo 6

Conclusão: o centróide da região é o par ordenado formado por \bar{x}=2 e \bar{y}=\dfrac{8}{5}. Mantive todas as contas explicadas passo a passo — você consegue repetir isso na prova: encontre os limites, calcule a área, depois os momentos \int x f(x)\,dx e \int f(x)^{2}\,dx e aplique as fórmulas.

Resposta

\displaystyle (\bar{x},\bar{y})=\left(2,\frac{8}{5}\right)

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