Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva
e pelo eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o centróide (baricentro) da área plana limitada pela curva
e pelo eixo dos
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A curva que limita a região superior é
. - A região é limitada inferiormente pelo eixo dos
(ou seja, por ). - Precisamos encontrar as coordenadas do centróide, isto é
, do domínio planar descrito acima. - Para determinar os limites de integração precisamos saber onde a curva corta o eixo dos
(pontos de interseção).
Passo 2
Achar os pontos de interseção entre a curva e o eixo dos
: resolver
.
Fatorando temos:
Fatorando temos:
logo as raízes são
e
.
Portanto a região está entre e
, com a curva acima do eixo
.
Portanto a região está entre
Passo 3
Calculamos a área
da região usando a integral definida de
em relação a
:
Explico a fórmula: a área sob uma curva positiva
entre
e
é
. Aqui
,
,
.
Agora fazemos a integração passo a passo:
Agora fazemos a integração passo a passo:
Avalia em
e
:
Passo 4
Formula do coordenada
: para uma região plana limitada superiormente por
e inferiormente por
entre
e
, a abscissa do centróide é
Explicação da fórmula:
é o momento da área em relação ao eixo
; dividindo pelo total da área
obtemos a coordenada média ponderada
.
Aplicando ao nosso caso ( ,
,
):
Aplicando ao nosso caso (
Integramos termo a termo:
Avalia em
e
:
Agora divide pelo
:
Passo 5
Fórmula da coordenada
: para a mesma configuração (região entre
e
),
Explicação da fórmula:
é proporcional ao momento em relação ao eixo
; o fator
aparece na dedução geométrica (é a média da altura ao quadrado dividida por
) — não se preocupe com a origem intutiva agora, o uso é padrão em cálculo de centróides.
Calculamos com
:
Calculamos
Integrando de
a
:
Avalia em
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto
Agora:
Agora:
Passo 6
Conclusão: o centróide da região é o par ordenado formado por
e
. Mantive todas as contas explicadas passo a passo — você consegue repetir isso na prova: encontre os limites, calcule a área, depois os momentos
e
e aplique as fórmulas.