Para viga engastada em balanço, carregamento triangular distribuído e seção retangular prismática constante, obtenha: a) a equação diferencial da linha elástica. (Iniciar com a equação de quarta ordem).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma viga engastada em balanço, ou seja, fixada de um lado e livre do outro. Ela está submetida a um carregamento triangular distribuído, e a seção transversal da viga é retangular e constante ao longo de todo o comprimento. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação diferencial da linha elástica dessa viga, começando com a equação de quarto grau. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria de flexão de vigas e como as cargas distribuídas influenciam a deflexão da viga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a linha elástica de uma viga descreve como ela se deforma sob carga. A equação que relaciona a curvatura da viga com a carga aplicada é chamada de equação de flexão. Para uma viga submetida a flexão pura, a equação diferencial da linha elástica é dada por:
Aqui,
é o módulo de elasticidade do material,
é o momento de inércia da seção transversal da viga,
é a deflexão da viga em função da posição
, e
é a carga distribuída aplicada.
Passo 3
No nosso caso, a carga
não é constante, mas sim distribuída de forma triangular. Isso significa que a intensidade da carga varia ao longo do comprimento da viga. Vamos definir uma expressão para
. Suponha que a viga tem comprimento
e que a carga máxima no ponto livre (final da viga) é
. Então, a carga distribuída triangular pode ser representada por:
Isso indica que a carga começa em zero na base engastada (
) e aumenta linearmente até
no final livre (
).
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de
na equação de flexão que escrevemos no Passo 2. Substituindo, temos:
Essa é a equação diferencial da linha elástica para a nossa viga específica, que considera a flexão devido a uma carga distribuída triangular.
Resposta
A equação diferencial da linha elástica para a viga engastada em balanço, submetida a uma carga distribuída triangular, é: