Para viga engastada em balanço, carregamento triangular distribuído e seção retangular prismática constante, obtenha: a) a equação diferencial da linha elástica. (Iniciar com a equação de quarta ordem).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos uma viga engastada em balanço, ou seja, fixada de um lado e livre do outro. Ela está submetida a um carregamento triangular distribuído, e a seção transversal da viga é retangular e constante ao longo de todo o comprimento. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação diferencial da linha elástica dessa viga, começando com a equação de quarto grau. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria de flexão de vigas e como as cargas distribuídas influenciam a deflexão da viga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a linha elástica de uma viga descreve como ela se deforma sob carga. A equação que relaciona a curvatura da viga com a carga aplicada é chamada de equação de flexão. Para uma viga submetida a flexão pura, a equação diferencial da linha elástica é dada por:
EI d^4 ydx^4 = q(x)
Aqui, é o módulo de elasticidade do material, é o momento de inércia da seção transversal da viga, é a deflexão da viga em função da posição , e é a carga distribuída aplicada.

Passo 3

No nosso caso, a carga q(x) = q0L x não é constante, mas sim distribuída de forma triangular. Isso significa que a intensidade da carga varia ao longo do comprimento da viga. Vamos definir uma expressão para . Suponha que a viga tem comprimento e que a carga máxima no ponto livre (final da viga) é . Então, a carga distribuída triangular pode ser representada por:
Isso indica que a carga começa em zero na base engastada ( ) e aumenta linearmente até no final livre ( ).

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de EI d^4 ydx^4 = q0L x na equação de flexão que escrevemos no Passo 2. Substituindo, temos:
Essa é a equação diferencial da linha elástica para a nossa viga específica, que considera a flexão devido a uma carga distribuída triangular.

Resposta

A equação diferencial da linha elástica para a viga engastada em balanço, submetida a uma carga distribuída triangular, é:
EI d^4 ydx^4 = q0L x

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