Uma viga simplesmente apoiada de \mathbf{4 m} de comprimento está submetida a uma carga concentrada de \mathbf{2 0 ~ k N} aplicada no centro.
O momento fletor máximo é igual a:
A) 10 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}
B) 15 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}
C) 20 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}
D) 25 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}
E) 40 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada com comprimento \,4~\mathrm{m}\, e uma carga concentrada de \,20~\mathrm{kN}\, aplicada no centro da viga (ou seja, a \,2~\mathrm{m}\, de cada apoio). A pergunta é: qual é o momento fletor máximo da viga? As alternativas são:
A) 10~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}
B) 15~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}
C) 20~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}
D) 25~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}
E) 40~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}

Passo 2

Primeiro vamos achar as reações nos apoios usando equilíbrio estático. Denotando as reações em cada apoio por \,R_A e \,R_B:
Equilíbrio vertical:
R_A + R_B - P = 0
Equilíbrio de momentos em torno do apoio esquerdo (somando momentos positivos no sentido anti-horário):
R_B \cdot L - P \cdot \frac{L}{2} = 0
Resolver a segunda equação para \,R_B:
R_B = \frac{P \cdot \frac{L}{2}}{L} = \frac{P}{2}.
Como a carga está exatamente no centro, por simetria \,R_A = R_B = \frac{P}{2}.
Explicando em palavras: a carga central é dividida igualmente entre os dois apoios, então cada apoio carrega metade da carga.

Passo 3

Agora observamos o diagrama de esforços cortantes ( V). Para uma seção entre o apoio esquerdo e a carga (ou seja, para 0<x<\tfrac{L}{2}):
V(x)=R_A=\frac{P}{2}.
Ao atravessar a carga no centro, o corte sofre uma queda abrupta de magnitude P, passando para
V(x)=\frac{P}{2}-P=-\frac{P}{2}
para \tfrac{L}{2}<x<L. Esse comportamento do esforço cortante indica que o momento fletor cresce linearmente até o ponto da carga e depois decresce simetricamente.

Passo 4

Calcular o momento fletor M(x). Para a região à esquerda da carga ( 0\le x\le \tfrac{L}{2}), o momento é dado por somar os momentos das forças à esquerda da seção:
M(x)=R_A\cdot x = \frac{P}{2}\,x.
Esse é um polinômio linear em x que aumenta com x. Logo o máximo na região esquerda ocorre no ponto mais à direita dessa região, isto é, em x=\tfrac{L}{2}. Assim o momento máximo (no centro) vale
M_{\max}=M\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{P}{2}\cdot\frac{L}{2}=\frac{P\,L}{4}.
Aqui uma pequena explicação da fórmula: \,P é a carga concentrada (força), \,L é o vão da viga (comprimento total). A divisão por 4 vem de multiplicar \tfrac{P}{2} (metade da carga na reação) por \tfrac{L}{2} (meio vão).

Passo 5

Agora substituímos os números dados: \,P=20~\mathrm{kN} e \,L=4~\mathrm{m}. Usando a fórmula \,M_{\max}=\dfrac{P\,L}{4}:
M_{\max}=\frac{20~\mathrm{kN}\cdot 4~\mathrm{m}}{4}=20~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Confirmação com outro raciocínio rápido: reação em cada apoio \,R_A=R_B=10~\mathrm{kN}. O momento no centro é \,R_A\cdot 2~\mathrm{m}=10\cdot 2=20~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}. Coincide com a fórmula acima. Anota mental útil para prova: para carga pontual no centro de viga simplesmente apoiada, memorize \,M_{\max}=\dfrac{P\,L}{4}.

Resposta

C) 20~\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}

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