Se a viga estiver sujeita a um momento fletor M=10 \mathrm{kNm}, determine a tensão normal devido à flexão nos pontos A e B.

Passo 1

O enunciado pede: “Se a viga estiver sujeita a um momento fletor M=10\\ \mathrm{kNm}, determine a tensão normal devido à flexão nos pontos A e B.”
Dados visíveis na figura (peguei estes valores da imagem):
  • Espessuras de placas/tábuas: 30\\ \mathrm{mm} (cada peça horizontal/vertical tem espessura 30\\ \mathrm{mm}).
  • Largura da placa superior e inferior: 200\\ \mathrm{mm}.
  • Larguras das duas prateleiras internas: 150\\ \mathrm{mm} (duas peças internas idênticas).
  • Distâncias verticais (da face externa superior ao interior, conforme rótulos na imagem): existem duas regiões grandes de 150\\ \mathrm{mm} e pequenos espaços de 50\\ \mathrm{mm} e espessuras de 30\\ \mathrm{mm}; a montagem é verticalmente simétrica.
  • Momento aplicado: M=10\\ \mathrm{kN\,m}.
Observação importante (extraída da figura): a seção transversal é composta por dois montantes verticais (cada um 30\\ \mathrm{mm} de largura por toda a altura) e quatro placas horizontais (topo e fundo com 200\times30\\ \mathrm{mm} e duas internas com 150\times30\\ \mathrm{mm}), dispostas simetricamente em relação ao eixo horizontal médio. Tomei essa decomposição porque a figura mostra duas peças internas de 150\\ \mathrm{mm} e topo/fundo de 200\\ \mathrm{mm}, e a indicação numérica vertical é simétrica (logo o centróide vertical fica no meio). Se isto não corresponder exatamente ao diagrama que o seu professor passou, me avise — com o diagrama exato eu ajusto os cálculos.
O que vou calcular:
  • Localizar o centróide vertical da seção (por simetria será o centro, confirmo).
  • Calcular o momento de inércia da seção composta em relação ao eixo neutro horizontal usando soma de momentos de inércia (teorema dos eixos paralelos).
  • Aplicar a fórmula da flexão para obter a tensão normal em A e B: \sigma = -\dfrac{M\,y}{I}, indicando o sinal (compressão/tensão).

Passo 2

Relembre a fórmula da flexão e os significados:
  • A fórmula da flexão para uma seção transversal rígida é
\sigma(x)= -\dfrac{M}{I}\,y,
onde:
  • \sigma é a tensão normal (positiva em tração, negativa em compressão, depende da convenção),
  • M é o momento fletor aplicado (em unidades de N·mm ou N·m),
  • I é o momento de inércia segundo o eixo neutro (aqui o eixo horizontal que passa pelo centróide da seção), em mm^4 (se usarmos mm),
  • y é a distância (em mm) do ponto considerado até o eixo neutro; y>0 para cima e y<0 para baixo (convenção que vou usar).
  • Observação didática: a fórmula é derivada supondo deformações lineares com \epsilon = -\kappa y e tensão \sigma=E\epsilon; para flexão pura temos \sigma\propto y e a constante é -M/I.

Passo 3

Escolha de unidades e conversões:
  • Vou trabalhar em mm e N para área e momento de inércia e, no final, expressar \sigma em \mathrm{N/mm^2} (que é MPa).
  • Converter M para N·mm:
M = 10\\ \mathrm{kN\,m} = 10\,000\\ \mathrm{N\,m} = 10\,000\times1000\\ \mathrm{N\,mm}=10\,000\,000\\ \mathrm{N\,mm}.

Passo 4

Modelagem da seção por retângulos (peguei todos os tamanhos da imagem, assumindo simetria vertical):
  • Dois montantes verticais (laterais): cada um tem largura b=30\\ \mathrm{mm} e altura h=460\\ \mathrm{mm}. (A altura total é obtida somando os rótulos verticais da figura; a disposição é simétrica, portanto o centróide vertical está no meio.)
  • Quatro placas horizontais (retângulos de espessura 30\\ \mathrm{mm}):
    • Topo e fundo: 200\\ \mathrm{mm} (largura) \times 30\\ \mathrm{mm} (espessura). Centróides a y= \pm 215\\ \mathrm{mm} do eixo neutro (metade da altura é 230\\ \mathrm{mm}; centro da placa a 15\\ \mathrm{mm} abaixo/ acima da face externa => 230-15=215\\ \mathrm{mm}).
    • Duas placas internas: 150\\ \mathrm{mm}\times30\\ \mathrm{mm}. Centróides a y= \pm 135\\ \mathrm{mm} do eixo neutro (conforme as distâncias desenhadas: 95\\ \mathrm{mm} a partir da face superior -> 230-95=135\\ \mathrm{mm}).
Vou numerar as peças e calcular áreas, momentos de inércia centrais e termos do teorema dos eixos paralelos.

Passo 5

Cálculo das áreas e posições (em mm e mm^2):
  • Montantes laterais (cada): A_s = 30\times460 = 13\,800\\ \mathrm{mm^2}.Centróide vertical: y_s=0 (ocupa toda a altura e, por construção simétrica, passa pelo eixo neutro).
  • Placa topo e placa fundo: A_{t} = 200\times30 = 6\,000\\ \mathrm{mm^2},\quad y_{t}=\pm215\\ \mathrm{mm}.
  • Placas internas (duas): A_{i} = 150\times30 = 4\,500\\ \mathrm{mm^2},\quad y_{i}=\pm135\\ \mathrm{mm}.
Verificação do centróide: por simetria as somas de momentos positivos e negativos cancelam, logo o eixo neutro está no meio ( y_{bar}=0 ) — portanto podemos usar diretamente distâncias y acima.

Passo 6

Momento de inércia de cada peça em relação ao seu próprio centro (fórmula para retângulo de base b horizontal e altura h vertical — momento em torno do eixo horizontal que passa pelo centro do retângulo):
I_{centro}=\dfrac{b\,h^{3}}{12}.
Cálculos (em mm^4):
  • Montante lateral (cada um):
I_{s,\text{centro}}=\dfrac{30\times460^{3}}{12}.
Calculemos:
460^{3}=97\,336\,000,\quad 30\times460^{3}=2\,920\,080\,000,
I_{s,\text{centro}}=\dfrac{2\,920\,080\,000}{12}=243\,340\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Dois montantes:
I_{s,\text{total}}=2\times243\,340\,000=486\,680\,000\\ \mathrm{mm^4}.
  • Placa topo/fundo (cada):
I_{t,\text{centro}}=\dfrac{200\times30^{3}}{12}=\dfrac{200\times27\,000}{12}=200\times2\,250=450\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos (cada placa deslocada d=215\\ \mathrm{mm} do neutro):
I_{t,\text{paral}}=I_{t,\text{centro}}+A_t d^2 = 450\,000 + 6\,000\times215^{2}.
Calcule:
6\,000\times215^{2}=6\,000\times46\,225=277\,350\,000.
Logo para cada placa:
I_{t,\text{paral}}=450\,000+277\,350\,000=277\,800\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Duas placas (topo+fundo):
I_{t,\text{total}}=2\times277\,800\,000=555\,600\,000\\ \mathrm{mm^4}.
  • Placa interna (cada):
I_{i,\text{centro}}=\dfrac{150\times30^{3}}{12}=\dfrac{150\times27\,000}{12}=150\times2\,250=337\,500\\ \mathrm{mm^4}.
Deslocamento d=135\\ \mathrm{mm}:
I_{i,\text{paral}}=337\,500 + 4\,500\times135^{2}.
Calcule:
4\,500\times135^{2}=4\,500\times18\,225=82\,012\,500.
Assim para cada interna:
I_{i,\text{paral}}=337\,500+82\,012\,500=82\,350\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Duas internas:
I_{i,\text{total}}=2\times82\,350\,000=164\,700\,000\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 7

Somar todos os momentos de inércia para obter I da seção composta (em mm^4):
I = I_{s,\text{total}} + I_{t,\text{total}} + I_{i,\text{total}}.
Substituindo os valores:
I = 486\,680\,000 + 555\,600\,000 + 164\,700\,000 = 1\,206\,980\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Arredondando:
I \approx 1{,}2069\times10^{9}\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 8

Determinar as posições verticais y de A e B em relação ao eixo neutro (peguei a localização dos pontos na imagem e interpretei como segue; se a sua figura marcar A e B em outros locais, avise e eu recalculo):
  • Pelo desenho, o ponto A está localizado ao nível da placa interna superior (ou seja, na parede lateral ao nível da placa interna superior). Então tomo
y_A = +135\\ \mathrm{mm}
(positivo porque está acima do eixo neutro).
  • O ponto B está localizado próximo à face externa inferior (ao nível da placa inferior). Então tomo
y_B = -215\\ \mathrm{mm}
(negativo porque está abaixo do eixo neutro).
Se a sua figura tem A e B em posições diferentes, diga-me as posições e eu atualizo.

Passo 9

Aplicar a fórmula da flexão a cada ponto (usar M=10\,000\,000\\ \mathrm{N\,mm} e I=1{,}20698\times10^{9}\\ \mathrm{mm^4}):
  • Para A:
\sigma_A = -\dfrac{M\,y_A}{I} = -\dfrac{10\,000\,000\times135}{1{,}206\,980\,000}.
Calcule:
10\,000\,000\times135 = 1{,}350\,000\,000.
\sigma_A = -\dfrac{1{,}350\,000\,000}{1{,}206\,980\,000}\approx -1{,}119\\ \mathrm{N/mm^2}.
Ou seja,
\sigma_A \approx -1{,}12\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{compressão}).ã
  • Para B:
\sigma_B = -\dfrac{M\,y_B}{I} = -\dfrac{10\,000\,000\times(-215)}{1{,}206\,980\,000}.
Calcule:
10\,000\,000\times215 = 2{,}150\,000\,000.
\sigma_B = +\dfrac{2{,}150\,000\,000}{1{,}206\,980\,000}\approx +1{,}781\\ \mathrm{N/mm^2}.
Ou seja,
\sigma_B \approx +1{,}78\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{tração}).çã
Comentário sobre o sinal: com a convenção usada ( \sigma=-M y/I e y>0 para cima), um momento que produz compressão na parte superior dá \sigma<0 na parte superior e \sigma>0 (tração) na parte inferior. Os valores acima já refletem isso.

Resposta

\sigma_A \approx -1{,}12\\ \mathrm{MPa} (compressão)
\sigma_B \approx +1{,}78\\ \mathrm{MPa} (tração)

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