6.138 Uma viga de concreto é reforçada com três barras de aço de 20 mm de diâmetro. Os módulos de elasticidade e as tensões admissíveis são E_{C}= 25 GPa , \sigma_{A C}=12,5 \mathrm{MPa}, para o concreto e E_{A}=200 \mathrm{GPa}, \sigma_{A A}=220 \mathrm{MPa}, para o aço. (a) Determine a altura efetiva d para que o concreto e o aço atinjam suas tensões admissíveis simultaneamente (condição de projeto balanceado); (b) Determine o máximo valor de momento fletor interno admissível para esta viga.

Passo 1

O enunciado descreve uma viga de concreto de largura b=200 mm reforçada com três barras de aço de diâmetro 20 mm. Os dados são:
E_{C}=25\text{ GPa},\quad \sigma_{AC}=12{,}5\text{ MPa},
E_{A}=200\text{ GPa},\quad \sigma_{AA}=220\text{ MPa}.
Queremos (a) achar a profundidade efetiva d para que, sob flexão, o concreto na fibra extrema superior e o aço na fibra inferior atinjam simultaneamente suas tensões admissíveis (projeto balanceado) e (b) determinar o momento fletor máximo admissível. Usaremos: compatibilidade de deformações (variação linear) e equilíbrio das forças internas (compressão do concreto versus tração do aço).

Passo 2

Pela compatibilidade de deformações em flexão pura a distribuição de deformação é linear desde a fibra extrema superior (compressão máxima \varepsilon_{C}) até a fibra inferior (tração \varepsilon_{A}). Como
\sigma_{AC}=E_{C}\,\varepsilon_{C},\quad \sigma_{AA}=E_{A}\,\varepsilon_{A},
e no triângulo de deformação vale
\frac{\varepsilon_{A}}{\varepsilon_{C}}=\frac{d-x}{x},
temos
\frac{\sigma_{AA}/E_{A}}{\sigma_{AC}/E_{C}} =\frac{\varepsilon_{A}}{\varepsilon_{C}} =\frac{d-x}{x}.

Passo 3

Calculemos numericamente a razão:
\frac{\sigma_{AA}/E_{A}}{\sigma_{AC}/E_{C}} =\frac{(220\times10^{6}/200\times10^{9})}{(12{,}5\times10^{6}/25\times10^{9})} =\frac{1{,}1\times10^{-3}}{0{,}5\times10^{-3}} =2{,}2.
Logo
\frac{d-x}{x}=2{,}2 \quad\Longrightarrow\quad d=3{,}2\,x.

Passo 4

Agora equilibramos as forças internas. A área de aço é
A_{s}=3\cdot\frac{\pi(0{,}02)^{2}}{4} =0{,}0009425\\ \text{m}^{2},
e a tração no aço é
T=A_{s}\,\sigma_{AA} =0{,}0009425\times220\times10^{6} =207{,}35\times10^{3}\\ \text{N}.
A força de compressão no concreto, considerando o diagrama triangular de tensão, vale
C=\tfrac12\,\sigma_{AC}\,b\,x =\tfrac12\cdot12{,}5\times10^{6}\cdot0{,}2\cdot x =1{,}25\times10^{6}\,x.
No equilíbrio interna C=T, temos
1{,}25\times10^{6}\,x =207{,}35\times10^{3} \quad\Longrightarrow\quad x=0{,}1659\\ \text{m}.

Passo 5

Da relação d=3{,}2\,x segue
d=3{,}2\times0{,}1659=0{,}5308\\ \text{m} \approx530{,}8\\ \text{mm}.

Passo 6

O momento fletor resistente é
M=T\cdot z,
onde o braço z é a distância entre a resultante de tração no aço (na fibra inferior) e o centro de gravidade do triângulo de compressão (a x/3 da fibra superior), ou seja
z=d-\frac{x}{3} =0{,}5308-\frac{0{,}1659}{3} =0{,}4755\\ \text{m}.
Logo
M=207{,}35\times10^{3}\times0{,}4755 =98{,}6\times10^{3}\\ \text{N}\,\cdot\text{m} \approx98{,}6\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Resposta

(a) d\approx530{,}8\\ \text{mm}.
(b) M_{\max}\approx98{,}6\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Exercícios relacionados