Uma viga de madeira biapoiada, sem balanço, de 4 m de comprimento esta submetida a uma carga concentrada no seu ponto médio de 20 kN .
Sabendo-se que essa peça de madeira tem tensão admissível de 25 MPa na flexão simples e que ela possui uma seção transversal retangular constante de largura de 12 cm , a altura mínima da seção transversal da viga para que ela atinja seu limite admissível, sem considerar os fatores de segurança de majoração de carga e minoração da resistência, é:
(A) 8 \mathrm{~cm} ;
(B) 12 cm ;
(C) 16 cm ;
(D) 20 cm ;
(E) 24 cm .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a altura mínima da seção retangular:
  • comprimento da viga: L=4\\ \mathrm{m};
  • carga concentrada no meio: P=20\\ \mathrm{kN};
  • tensão admissível à flexão: \sigma_{\text{adm}}=25\\ \mathrm{MPa};
  • largura da seção retangular: b=12\\ \mathrm{cm}.
    Pergunta: determinar a altura mínima h da seção retangular (constante ao longo da viga) tal que a tensão máxima de flexão não exceda \sigma_{\text{adm}}. As opções oferecidas são (A)\\\ 8\\ \mathrm{cm},\\ (B)\\\ 12\\ \mathrm{cm},\\ \text{(C)}\\\ 16\\ \mathrm{cm},\\ (D)\\\ 20\\ \mathrm{cm},\\ (E)\\\ 24\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Vamos introduzir a fórmula básica de flexão simples que relaciona o momento fletor ao esforço cortante na fibra extrema:
\sigma = \frac{M\,c}{I}.
Expliquei as letras:
  • \sigma é a tensão de flexão na fibra mais solicitada (Pa ou N/m ^2);
  • M é o momento fletor no ponto considerado (N·m);
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (m);
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (m ^4).
Para uma seção retangular de largura b e altura h:
I=\frac{b\,h^{3}}{12}, \qquad c=\frac{h}{2}.
Substituindo em \sigma=\dfrac{M c}{I}:
\sigma = \frac{M\,(h/2)}{(b h^{3}/12)}.
Agora simplificamos passo a passo:
\sigma = M\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{12}{b h^{3}} = M\cdot\frac{12}{2}\cdot\frac{1}{b h^{2}} = \frac{6\,M}{b\,h^{2}}.
Portanto, a relação que vamos usar é
\boxed{\sigma = \dfrac{6M}{b h^{2}}.}
Isto nos permite, para dado M, b e \sigma_{\text{adm}}, resolver para h.

Passo 3

Precisamos do momento máximo na viga biapoiada com carga concentrada no meio. Para essa situação conhecida:
M_{\text{máx}}=\frac{P\,L}{4}.á
Agora convertemos unidades para o Sistema Internacional e calculamos:
P=20\\ \mathrm{kN}=20\,000\\ \mathrm{N}, \qquad L=4\\ \mathrm{m}.
Logo
M_{\text{máx}}=\frac{20\,000\cdot 4}{4}=20\,000\\ \mathrm{N\cdot m}.á

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da tensão máxima e impomos \sigma_{\text{máx}}=\sigma_{\text{adm}}á. Partindo de
\sigma_{\text{adm}}=\frac{6M_{\text{máx}}}{b h^{2}},á
isolamos h^{2}:
h^{2}=\frac{6M_{\text{máx}}}{b\,\sigma_{\text{adm}}}.á
Convertendo b e \sigma_{\text{adm}} para SI:
b=12\\ \mathrm{cm}=0{,}12\\ \mathrm{m}, \qquad \sigma_{\text{adm}}=25\\ \mathrm{MPa}=25\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Substituindo os valores numéricos:
h^{2}=\frac{6\cdot 20\,000}{0{,}12\cdot 25\times 10^{6}}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
6\cdot 20\,000 = 120\,000, \qquad 0{,}12\cdot 25\times 10^{6} = 3{,}0\times 10^{6}.
Portanto
h^{2}=\frac{120\,000}{3{,}0\times 10^{6}}=0{,}04.
Tomando raiz quadrada:
h=\sqrt{0{,}04}=0{,}20\\ \mathrm{m}=20\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Interpretação: a altura mínima calculada é 20\\ \mathrm{cm}. Entre as opções dadas, isso corresponde à alternativa (D). Uma observação prática: aqui não usei fatores de segurança nem coeficientes de redução de resistência, conforme pede o enunciado — se aplicássemos fatores, h teria que ser maior.

Resposta

(D) 20 cm

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