Um pilar de concreto vertical de 3 m , engastado e livre, esta submetido a uma carga vertical de 90 kN e a uma carga distribuída horizontal de 1 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, ao longo de sua altura, aplicada perpendicularmente à sua face e passando pelo seu centro de gravidade.
Se a seção transversal do pilar for quadrada de 15 cm , as tensões normais máxima e mínima que ocorrerão na base do pilar serão, respectivamente, de:
(A) 4 MPa e-12 MPa;
(B) 6 MPa e-10 MPa;
(C) 8 MPa e - 8 MPa ;
(D) 10 MPa e -6 MPa ;
(E) 12 MPa e - 4 Mpa .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as tensões normais máxima e mínima na base do pilar:
  • Altura do pilar: 3\\ \mathrm{m}.
  • Carga axial concentrada: 90\\ \mathrm{kN} (vertical, aplicada ao longo do eixo).
  • Carga distribuída horizontal (perpendicular a uma face, passando pelo centro de gravidade): 1\\ \mathrm{kN/m} ao longo de toda a altura.
  • Seção transversal: quadrada com lado 15\\ \mathrm{cm}.
    Pergunta: Quais são as tensões normais máxima e mínima que ocorrem na base do pilar?

Passo 2

Calcular a área da seção transversal. A seção é quadrada de lado a=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}. A área A é
A = a^2.
Substituindo,
A = (0{,}15)^2 = 0{,}0225\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Calcular a tensão devida à carga axial. A tensão média axial (assumindo distribuição uniforme) é
\sigma_{\text{axial}} = \frac{N}{A},
onde N é a força axial (positiva para tração; aqui é compressão). Substituindo N=90\\ \mathrm{kN}=90\,000\\ \mathrm{N} e A do passo anterior,
\sigma_{\text{axial}} = \frac{90\,000}{0{,}0225} = 4{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa} = 4\\ \mathrm{MPa}.
Como a força é de compressão, essa é uma tensão comprimida. Vou adotar a convenção usual: tensões de tração positivas e de compressão negativas. Portanto a contribuição axial é -4\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Substituir a carga distribuída por sua resultante e calcular o momento na base. Para uma carga uniformemente distribuída w ao longo de altura L:
W_{\text{res}} = wL
e o braço até a base (centro de ação) é L/2, logo o momento na base é
M = W_{\text{res}}\cdot\frac{L}{2}.
Aqui w = 1\\ \mathrm{kN/m}=1000\\ \mathrm{N/m} e L=3\\ \mathrm{m}. Portanto
W_{\text{res}} = 1000\cdot 3 = 3000\\ \mathrm{N} = 3\\ \mathrm{kN},
M = 3000\cdot\frac{3}{2} = 3000\cdot 1{,}5 = 4500\\ \mathrm{N\cdot m} = 4{,}5\\ \mathrm{kN\cdot m}.

Passo 5

Calcular o momento de inércia da seção quadrada em relação ao eixo neutro (eixo que passa pelo centro, paralelo à face oposta ao carregamento). Para uma seção retangular de base b e altura h o momento de inércia em relação ao eixo que corta o centro e é paralelo à base é
I = \frac{b h^3}{12}.
No caso de um quadrado b=h=a, portanto
I = \frac{a^4}{12}.
Com a=0{,}15\\ \mathrm{m},
I = \frac{(0{,}15)^4}{12} = \frac{0{,}00050625}{12} = 0{,}0000421875\\ \mathrm{m^4}.

Passo 6

Calcular a tensão devida ao momento (tensão de flexão) no fibra extrema. A fórmula da tensão de flexão é
\sigma_{\text{flex}} = \frac{M\,c}{I},
onde M é o momento na seção, c é a distância do centro à fibra extrema e I é o momento de inércia. Aqui c = \frac{a}{2} = 0{,}075\\ \mathrm{m}. Substituindo M=4500\\ \mathrm{N\cdot m}, c e I:
\sigma_{\text{flex}} = \frac{4500\cdot 0{,}075}{0{,}0000421875}.
Calculemos passo a passo:
4500\cdot 0{,}075 = 337{,}5,
\sigma_{\text{flex}} = \frac{337{,}5}{0{,}0000421875} = 8{,}000{,}000\\ \mathrm{Pa} = 8\\ \mathrm{MPa}.
A flexão gera uma fibra comprimida (do lado para onde o momento empurra) e a fibra oposta tracionada, com módulo 8\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Combinar a tensão axial com a tensão de flexão para obter as tensões extremas na base. A superposição linear diz:
\sigma_{\text{total}}(y) = \sigma_{\text{axial}} \;+\; \sigma_{\text{flex}}(y).
Nas fibras extremas temos duas situações:
  • Fibra que sofre compressão por flexão: contribuição da flexão é -8\\ \mathrm{MPa}. Somando a axial -4\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{\text{compressão}} = -4\\ \mathrm{MPa} + (-8\\ \mathrm{MPa}) = -12\\ \mathrm{MPa}.ã
  • Fibra que fica em tração por flexão: contribuição da flexão é +8\\ \mathrm{MPa}. Somando a axial -4\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{\text{tração}} = -4\\ \mathrm{MPa} + 8\\ \mathrm{MPa} = +4\\ \mathrm{MPa}.çã
Portanto a tensão máxima (mais positiva, ou seja máxima tração) é +4\\ \mathrm{MPa} e a tensão mínima (mais negativa, ou seja máxima compressão) é -12\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Comparando com as alternativas fornecidas, a correspondência é:
  • máxima 4\\ \mathrm{MPa} e mínima -12\\ \mathrm{MPa} → alternativa (A).

Resposta

4\\ \mathrm{MPa} e -12\\ \mathrm{MPa}
(A)

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