Um pilar de concreto vertical de 3 m , engastado e livre, esta submetido a uma carga vertical de 90 kN e a uma carga distribuída horizontal de
, ao longo de sua altura, aplicada perpendicularmente à sua face e passando pelo seu centro de gravidade.
Se a seção transversal do pilar for quadrada de 15 cm , as tensões normais máxima e mínima que ocorrerão na base do pilar serão, respectivamente, de:
(A) 4 MPa e-12 MPa;
(B) 6 MPa e-10 MPa;
(C) 8 MPa e - 8 MPa ;
(D) 10 MPa e -6 MPa ;
(E) 12 MPa e - 4 Mpa .
Se a seção transversal do pilar for quadrada de 15 cm , as tensões normais máxima e mínima que ocorrerão na base do pilar serão, respectivamente, de:
(A) 4 MPa e-12 MPa;
(B) 6 MPa e-10 MPa;
(C) 8 MPa e - 8 MPa ;
(D) 10 MPa e -6 MPa ;
(E) 12 MPa e - 4 Mpa .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as tensões normais máxima e mínima na base do pilar:
- Altura do pilar:
. - Carga axial concentrada:
(vertical, aplicada ao longo do eixo). - Carga distribuída horizontal (perpendicular a uma face, passando pelo centro de gravidade):
ao longo de toda a altura. - Seção transversal: quadrada com lado
.
Pergunta: Quais são as tensões normais máxima e mínima que ocorrem na base do pilar?
Passo 2
Calcular a área da seção transversal. A seção é quadrada de lado
. A área
é
Substituindo,
Passo 3
Calcular a tensão devida à carga axial. A tensão média axial (assumindo distribuição uniforme) é
onde
é a força axial (positiva para tração; aqui é compressão). Substituindo
e
do passo anterior,
Como a força é de compressão, essa é uma tensão comprimida. Vou adotar a convenção usual: tensões de tração positivas e de compressão negativas. Portanto a contribuição axial é
.
Passo 4
Substituir a carga distribuída por sua resultante e calcular o momento na base. Para uma carga uniformemente distribuída
ao longo de altura
:
e o braço até a base (centro de ação) é
, logo o momento na base é
Aqui
e
. Portanto
Passo 5
Calcular o momento de inércia da seção quadrada em relação ao eixo neutro (eixo que passa pelo centro, paralelo à face oposta ao carregamento). Para uma seção retangular de base
e altura
o momento de inércia em relação ao eixo que corta o centro e é paralelo à base é
No caso de um quadrado
, portanto
Com
,
Passo 6
Calcular a tensão devida ao momento (tensão de flexão) no fibra extrema. A fórmula da tensão de flexão é
onde
é o momento na seção,
é a distância do centro à fibra extrema e
é o momento de inércia. Aqui
. Substituindo
,
e
:
Calculemos passo a passo:
A flexão gera uma fibra comprimida (do lado para onde o momento empurra) e a fibra oposta tracionada, com módulo
.
Passo 7
Combinar a tensão axial com a tensão de flexão para obter as tensões extremas na base. A superposição linear diz:
Nas fibras extremas temos duas situações:
- Fibra que sofre compressão por flexão: contribuição da flexão é
. Somando a axial ,
- Fibra que fica em tração por flexão: contribuição da flexão é
. Somando a axial ,
Portanto a tensão máxima (mais positiva, ou seja máxima tração) é
e a tensão mínima (mais negativa, ou seja máxima compressão) é
.
Passo 8
Comparando com as alternativas fornecidas, a correspondência é:
- máxima
e mínima → alternativa (A).
Resposta
(A)