Uma viga de madeira biapoiada com 3 m de comprimento e seção transversal retangular suporta uma única força concentrada de 30 kN em seu ponto médio. Determine as dimensões mínimas de altura h e a largura b da viga, sabendo que
e
. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
- Comprimento da viga:
. - Força concentrada no meio:
. - Viga biapoiada (simplesmente apoiada nos dois extremos).
- Tensão de cisalhamento admissível:
. - Tensão de flexão admissível:
. - Seção transversal retangular com largura
e altura (altura no sentido da flexão).
O enunciado pede: determinar as dimensões mínimas de
e
que garantam que
e
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever as forças internas máximas que aparecem na viga (isto vem do problema geométrico da viga com carga concentrada no meio):
- Reações nos apoios: cada apoio tem reação
. - Força cortante máxima (entre apoio e carga):
. - Momento fletor máximo (no meio):
.
Vou calcular numericamente
e
. Converter unidades para o SI:
Logo
Passo 3
Agora vamos expor as fórmulas de tensões relevantes para uma seção retangular e explicar o que cada símbolo significa.
- Tensão de flexão máxima para uma seção reta:
onde
-
é o momento fletor máximo (já calculado), -
é a distância da fibra neutra até a fibra mais afastada (para retângulo ), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro. Para um retângulo de largura e altura :
Substituindo
e
na expressão de
obtemos, após simplificar, a fórmula prática usada em problemas:
Aqui cada símbolo significa:
-
: largura da seção (m), -
: altura da seção (m), -
: momento fletor máximo (N·m), -
: tensão de flexão máxima (Pa).
- Tensão de cisalhamento máxima para seção retangular submetida a esforço cortante
:
Para seção retangular a distribuição de tensão de cisalhamento é parabólica e o valor máximo no eixo neutro vale
onde
-
é a força cortante máxima (N), -
é a área da seção transversal: .
Portanto, de forma explícita:
Aqui
deve ser menor ou igual a
.
Passo 4
Para obter as dimensões mínimas faremos as igualdades correspondentes às tensões admissíveis (isto é: escolheremos
e
de modo que ambas as tensões atinjam, no pior caso, os valores admissíveis; isso fornece a solução de menor área que satisfaz ambas as restrições simultaneamente).
Escrevendo as igualdades:
da flexão:
do cisalhamento:
Como ambas igualam
, igualamos as expressões para eliminar
e achar
:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtemos:
Note que
, então uma forma mais simples é
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos (usar unidades SI consistentes):
Valores já calculados:
Dados admissíveis:
Calcule
:
Fazendo as simplificações numéricas:
Portanto
(Obs.: o cálculo acima pode ser verificado diretamente numa calculadora; o resultado é
.)
Passo 6
Com
encontrado, calculamos
usando uma das fórmulas (por exemplo a do cisalhamento):
Substituindo valores (tudo em SI):
Ou em milímetros:
Passo 7
Checagem rápida: com
e
as tensões ficam exatamente nos limites (pois solucionamos as igualdades). Podemos verificar:
- Flexão:
(igual por construção). - Cisalhamento:
(igual por construção).
Portanto a solução é consistente e mínima no sentido de que ambas as restrições são atingidas simultaneamente.