Uma viga de madeira biapoiada com 3 m de comprimento e seção transversal retangular suporta uma única força concentrada de 30 kN em seu ponto médio. Determine as dimensões mínimas de altura h e a largura b da viga, sabendo que \tau_{\mathrm{m}}=960 \mathrm{kPa} e \sigma_{\mathrm{m}}=12 \mathrm{MPa}. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Comprimento da viga: L=3\\ \text{m}.
  • Força concentrada no meio: P=30\\ \text{kN}.
  • Viga biapoiada (simplesmente apoiada nos dois extremos).
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{m}}=960\\ \text{kPa}.
  • Tensão de flexão admissível: \sigma_{\mathrm{m}}=12\\ \text{MPa}.
  • Seção transversal retangular com largura b e altura h (altura no sentido da flexão).
O enunciado pede: determinar as dimensões mínimas de h e b que garantam que \tau\le \tau_{\mathrm{m}} e \sigma\le \sigma_{\mathrm{m}}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as forças internas máximas que aparecem na viga (isto vem do problema geométrico da viga com carga concentrada no meio):
  • Reações nos apoios: cada apoio tem reação R=P/2.
  • Força cortante máxima (entre apoio e carga): V_{\max}=P/2.
  • Momento fletor máximo (no meio): M_{\max}=P L/4.
Vou calcular numericamente V_{\max} e M_{\max}. Converter unidades para o SI:
P=30\\ \text{kN}=30\times10^{3}\\ \text{N},\qquad L=3\\ \text{m}.
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V_{\max}=\frac{P}{2}=\frac{30\times10^{3}}{2}=15\times10^{3}\\ \text{N},
M_{\max}=\frac{P L}{4}=\frac{30\times10^{3}\cdot3}{4}=22{,}5\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Agora vamos expor as fórmulas de tensões relevantes para uma seção retangular e explicar o que cada símbolo significa.
  1. Tensão de flexão máxima para uma seção reta:
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max} c}{I},
onde
  • M_{\max} é o momento fletor máximo (já calculado),
  • c é a distância da fibra neutra até a fibra mais afastada (para retângulo c=h/2),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro. Para um retângulo de largura b e altura h:
I=\frac{b h^{3}}{12}.
Substituindo c=h/2 e I na expressão de \sigma_{\max} obtemos, após simplificar, a fórmula prática usada em problemas:
\sigma_{\max}=\frac{6 M_{\max}}{b h^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • b: largura da seção (m),
  • h: altura da seção (m),
  • M_{\max}: momento fletor máximo (N·m),
  • \sigma_{\max}: tensão de flexão máxima (Pa).
  1. Tensão de cisalhamento máxima para seção retangular submetida a esforço cortante V:
    Para seção retangular a distribuição de tensão de cisalhamento é parabólica e o valor máximo no eixo neutro vale
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\,\frac{V_{\max}}{A},
onde
  • V_{\max} é a força cortante máxima (N),
  • A é a área da seção transversal: A=b h.
    Portanto, de forma explícita:
\tau_{\max}=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{b h}.
Aqui \tau_{\max} deve ser menor ou igual a \tau_{\mathrm{m}}.

Passo 4

Para obter as dimensões mínimas faremos as igualdades correspondentes às tensões admissíveis (isto é: escolheremos b e h de modo que ambas as tensões atinjam, no pior caso, os valores admissíveis; isso fornece a solução de menor área que satisfaz ambas as restrições simultaneamente).
Escrevendo as igualdades:
da flexão:
\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{6 M_{\max}}{b h^{2}} \quad\Rightarrow\quad b=\frac{6 M_{\max}}{\sigma_{\mathrm{m}} h^{2}}.
do cisalhamento:
\tau_{\mathrm{m}}=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{b h} \quad\Rightarrow\quad b=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{\tau_{\mathrm{m}} h}.
Como ambas igualam b, igualamos as expressões para eliminar b e achar h:
\frac{6 M_{\max}}{\sigma_{\mathrm{m}} h^{2}}=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{\tau_{\mathrm{m}} h}.
Multiplicando ambos os lados por h^{2} e isolando h obtemos:
\frac{6 M_{\max}}{\sigma_{\mathrm{m}}}=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{\tau_{\mathrm{m}}}\,h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{6 M_{\max}}{\sigma_{\mathrm{m}}}\cdot\frac{\tau_{\mathrm{m}}}{1{,}5\,V_{\max}}.
Note que \dfrac{6}{1{,}5}=4, então uma forma mais simples é
h=4\,\frac{M_{\max}\,\tau_{\mathrm{m}}}{\sigma_{\mathrm{m}}\,V_{\max}}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (usar unidades SI consistentes):
Valores já calculados:
M_{\max}=22{,}5\times10^{3}\\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad V_{\max}=15\times10^{3}\\ \text{N}.
Dados admissíveis:
\tau_{\mathrm{m}}=960\\ \text{kPa}=960\times10^{3}\\ \text{Pa},\qquad \sigma_{\mathrm{m}}=12\\ \text{MPa}=12\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Calcule h:
h=4\cdot\frac{22{,}5\times10^{3}\cdot 960\times10^{3}}{12\times10^{6}\cdot 15\times10^{3}}.
Fazendo as simplificações numéricas:
h=4\cdot\frac{22{,}5\cdot960}{12\cdot15}\times\frac{10^{3}\cdot10^{3}}{10^{6}\cdot10^{3}} =4\cdot\frac{22{,}5\cdot960}{180}\times10^{0}.
\frac{22{,}5\cdot960}{180}=\frac{22{,}5\cdot960}{180}=\frac{22{,}5\cdot (960)}{180} =22{,}5\cdot\frac{960}{180}=22{,}5\cdot5{,}333\ldots=120.
Portanto
h=4\cdot120=480\\ \text{mm}=0{,}48\\ \text{m}.
(Obs.: o cálculo acima pode ser verificado diretamente numa calculadora; o resultado é h=0{,}48\\ \text{m}.)

Passo 6

Com h encontrado, calculamos b usando uma das fórmulas (por exemplo a do cisalhamento):
b=\frac{1{,}5\,V_{\max}}{\tau_{\mathrm{m}}\,h}.
Substituindo valores (tudo em SI):
b=\frac{1{,}5\cdot15\times10^{3}}{960\times10^{3}\cdot0{,}48} =\frac{22{,}500}{460{,}800}=0{,}048828125\\ \text{m}.
Ou em milímetros:
b\approx48{,}83\\ \text{mm}\approx49\\ \text{mm}.

Passo 7

Checagem rápida: com h=0{,}48\\ \text{m} e b\approx0{,}04883\\ \text{m} as tensões ficam exatamente nos limites (pois solucionamos as igualdades). Podemos verificar:
  • Flexão: \sigma=\dfrac{6M}{b h^{2}}=\sigma_{\mathrm{m}} (igual por construção).
  • Cisalhamento: \tau=\dfrac{1{,}5 V}{b h}=\tau_{\mathrm{m}} (igual por construção).
Portanto a solução é consistente e mínima no sentido de que ambas as restrições são atingidas simultaneamente.

Resposta

h=0{,}48\\ \text{m}=480\\ \text{mm}
b\approx0{,}04883\\ \text{m}\approx48{,}8\\ \text{mm}

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