Uma esfera maciça de raio
e massa
rola sem deslizar a partir do repouso por um plano inclinado de altura
. A velocidade do centro de massa ao atingir a base é aproximadamente: (Momento de inércia da esfera maciça:
)
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d)
◯ e)
◯ a)
◯ b)
◯ c)
◯ d)
◯ e)
Passo 1
O enunciado pede a velocidade do centro de massa ao atingir a base de um plano inclinado, para uma esfera maciça que rola sem deslizar a partir do repouso. Dados fornecidos:
- Raio:
. - Massa:
. - Altura inicial:
. - Momento de inércia da esfera maciça:
. - Aceleração da gravidade:
.
A pergunta é: qual é a velocidade do centro de massa ao atingir a base? (Opções: a), b) , c) , d) , e) .)
Passo 2
Princípio físico a usar: conservação de energia mecânica (sem atrito que dissipe energia, apenas conversão de energia potencial em cinética de translação e rotação). Vou escrever a igualdade de energias entre o ponto inicial (repouso, altura
) e o ponto final (base):
Em símbolos isso é
onde:
-
é a velocidade do centro de massa no final, -
é a velocidade angular da esfera no final.
Passo 3
Condição de rolar sem deslizar: a velocidade linear do centro e a velocidade angular estão relacionadas por
Isso significa que
. Substituirei
na equação de energia para eliminar
.
Passo 4
Substituindo
na equação de energia:
Agora substituo o momento de inércia da esfera maciça
:
Simplificando a segunda parcela: o
cancela e fica
Somando os coeficientes de
:
Logo
Passo 5
Isolando
(o
cancela):
Agora substituo os valores numéricos
e
:
Calculando numericamente:
Portanto
Passo 6
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções dadas),
. A opção disponível mais próxima é a letra c)
(a diferença é pequena e compatível com arredondamento da apresentação das alternativas).
Resposta
c)