Uma esfera maciça de raio \mathrm{R}= 0,20 \mathrm{~m} e massa \mathrm{M}=2,0 \mathrm{~kg} rola sem deslizar a partir do repouso por um plano inclinado de altura \mathrm{h}=1,0 \mathrm{~m}. A velocidade do centro de massa ao atingir a base é aproximadamente: (Momento de inércia da esfera maciça: I=2 / 5 \mathrm{MR}^{2} ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
◯ a) 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ b) 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ c) 3,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ d) 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
◯ e) 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do centro de massa ao atingir a base de um plano inclinado, para uma esfera maciça que rola sem deslizar a partir do repouso. Dados fornecidos:
  • Raio: R=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Massa: M=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Altura inicial: h=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Momento de inércia da esfera maciça: I=\tfrac{2}{5}MR^{2}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
    A pergunta é: qual é a velocidade do centro de massa ao atingir a base? (Opções: a) 2{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, b) 3{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, c) 3{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, d) 4{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, e) 5{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.)

Passo 2

Princípio físico a usar: conservação de energia mecânica (sem atrito que dissipe energia, apenas conversão de energia potencial em cinética de translação e rotação). Vou escrever a igualdade de energias entre o ponto inicial (repouso, altura h) e o ponto final (base):
\text{Energia potencial inicial} = \text{Energia cinética de translação final} + \text{Energia cinética de rotação final}.éçãéçã
Em símbolos isso é
M g h = \tfrac{1}{2} M v^{2} + \tfrac{1}{2} I \omega^{2},
onde:
  • v é a velocidade do centro de massa no final,
  • \omega é a velocidade angular da esfera no final.

Passo 3

Condição de rolar sem deslizar: a velocidade linear do centro e a velocidade angular estão relacionadas por
v = \omega R.
Isso significa que \omega = v/R. Substituirei \omega na equação de energia para eliminar \omega.

Passo 4

Substituindo \omega = v/R na equação de energia:
M g h = \tfrac{1}{2} M v^{2} + \tfrac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^{2}.
Agora substituo o momento de inércia da esfera maciça I=\tfrac{2}{5}MR^{2}:
M g h = \tfrac{1}{2} M v^{2} + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2}{5}MR^{2}\right)\left(\frac{v^{2}}{R^{2}}\right).
Simplificando a segunda parcela: o R^{2} cancela e fica
M g h = \tfrac{1}{2} M v^{2} + \tfrac{1}{5} M v^{2}.
Somando os coeficientes de M v^{2}:
\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{10} + \tfrac{2}{10} = \tfrac{7}{10}.
Logo
M g h = \tfrac{7}{10} M v^{2}.

Passo 5

Isolando v^{2} (o M cancela):
v^{2} = \frac{10}{7}\, g h.
Agora substituo os valores numéricos g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e h=1{,}0\\ \mathrm{m}:
v^{2} = \frac{10}{7}\times 10 \times 1 = \frac{100}{7}.
Calculando numericamente:
\frac{100}{7}\approx 14{,}2857\ldots
Portanto
v = \sqrt{\frac{100}{7}} \approx 3{,}78\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Arredondando para uma casa decimal (como nas opções dadas), v\approx 3{,}8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. A opção disponível mais próxima é a letra c) 3{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (a diferença é pequena e compatível com arredondamento da apresentação das alternativas).

Resposta

c) 3{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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