3.20 A haste sólida A B tem um diâmetro d_{A B}=60 \mathrm{~mm} . \mathrm{O} tubo C D tem um diâmetro externo de 90 mm e parede com 6 mm de espessura. Sabendo que ambos a haste e o tubo sāo feitos de aço para o qual a tensāo de cisalhamento admissível é 75 MPa , determine o maior torque \mathbf{T} que pode ser aplicado em A.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: determinar o maior torque \mathbf{T} que pode ser aplicado em A de modo que nenhuma peça exceda a tensão de cisalhamento admissível.
  • Dados fornecidos:
    • A haste sólida AB tem diâmetro d_{AB}=60\\ \text{mm}. (dado do enunciado)
    • O tubo CD tem diâmetro externo d_o=90\\ \text{mm} e espessura de parede t=6\\ \text{mm}. (peguei estes dois valores da imagem)
    • A tensão de cisalhamento admissível do aço é \tau_{\text{adm}}=75\\ \text{MPa}. (dado do enunciado)
  • Quantidades que precisarei calcular (listadas para não me perder depois):
    • diâmetro interno do tubo d_i;
    • momentos polares de inércia à torção J da haste sólida e do tubo;
    • como o torque aplicado se distribui entre haste e tubo;
    • o maior T que faz \tau\le\\ \tau_{\text{adm}} em ambas as peças.

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para um eixo circular submetido a torque T, a tensão máxima de cisalhamento na superfície (em módulo) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em \text{N}/\text{mm}^2 ou \text{MPa}),
  • T é o torque aplicado (em \text{N}\cdot\text{mm}),
  • c é o raio externo do elemento (em \text{mm}),
  • J é o momento polar de inércia à torção (em \text{mm}^4).
Explicando em miúdos: \tau_{\max} cresce com o torque e com o raio externo e diminui se a peça tiver maior resistência à torção (maior J). Então para não romper por cisalhamento queremos \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}.

Passo 3

Fórmulas para J (como calcular para sólido e para tubo).
  • Para um eixo circular maciço de diâmetro d:
J_{\text{sólido}}=\frac{\pi d^{4}}{32}.ó
Aqui d é o diâmetro externo.
  • Para um tubo circular com diâmetro externo d_o e interno d_i:
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi\left(d_{o}^{4}-d_{i}^{4}\right)}{32}.
Essas fórmulas vêm da integração da distribuição circular de área; não precisa decorar profundamente agora, basta saber que J cresce com a quarta potência do diâmetro — por isso pequenas mudanças no diâmetro mudam muito a rigidez torsional.

Passo 4

Calcular o diâmetro interno do tubo e os J numéricos.
  • Primeiro o diâmetro interno d_i do tubo: como a parede tem espessura t=6\\ \text{mm},
d_{i}=d_{o}-2t=90\\ \text{mm}-2(6\\ \text{mm})=90\\ \text{mm}-12\\ \text{mm}=78\\ \text{mm}.
(Usei d_o e t que peguei da imagem.)
  • Agora J da haste sólida ( d_{AB}=60\\ \text{mm}):
J_{1}=\frac{\pi d_{AB}^{4}}{32}=\frac{\pi(60^{4})}{32}.
Calculemos passo a passo:
60^{4}=12\,960\,000,
J_{1}=\frac{\pi\cdot 12\,960\,000}{32}=\pi\cdot 405\,000\\ \text{mm}^{4}\approx 1{,}272\,345\\ \text{mm}^{4}.
  • Agora J do tubo ( d_o=90\\ \text{mm},\\ d_i=78\\ \text{mm}):
J_{2}=\frac{\pi\left(90^{4}-78^{4}\right)}{32}.
Calculemos:
90^{4}=65\,610\,000,\qquad 78^{4}=37\,015\,056,
90^{4}-78^{4}=28\,594\,944,
J_{2}=\frac{\pi\cdot 28\,594\,944}{32}=\pi\cdot 893\,592\\ \text{mm}^{4}\approx 2{,}805\,934\\ \text{mm}^{4}.
  • Somando os dois J (pois, como veremos, ambos trabalham sujeitos ao mesmo ângulo de torção):
J_{\text{total}}=J_{1}+J_{2}\approx 1{,}272\,345+2{,}805\,934=4{,}078\,279\\ \text{mm}^{4}.

Passo 5

Como o torque aplicado em A se distribui entre haste e tubo (ideia e fórmula útil).
  • Se a haste e o tubo estão rigidamente ligados (mesmo ângulo de torção ao longo do trecho), ambos têm o mesmo ângulo de torção \theta. Para um mesmo comprimento L comum, cada peça apresenta um torque interno proporcional a seu J (porque T=GJ\,\dfrac{\theta}{L} e G e L são os mesmos).
  • Então os torques internos T_{1} (haste) e T_{2} (tubo) satisfazem:
\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{J_{1}}{J_{2}},\qquad T=T_{1}+T_{2}.
  • A tensão máxima na haste é
\tau_{1}=\frac{T_{1}\,c_{1}}{J_{1}},
onde c_{1} é o raio externo da haste: c_{1}=\dfrac{d_{AB}}{2}=30\\ \text{mm}.
  • A tensão máxima no tubo (na sua superfície externa) é
\tau_{2}=\frac{T_{2}\,c_{2}}{J_{2}},
onde c_{2}=\dfrac{d_{o}}{2}=45\\ \text{mm}.
  • Podemos combinar as fórmulas e obter uma expressão direta para \tau_{1} e \tau_{2} em função do torque total T. Usando T_{1}=(J_{1}/J_{\text{total}})T e T_{2}=(J_{2}/J_{\text{total}})T, obtemos:
\tau_{1}=\frac{T\,c_{1}}{J_{\text{total}}},\qquad \tau_{2}=\frac{T\,c_{2}}{J_{\text{total}}}.
Isto é muito prático: a tensão na superfície de cada peça é proporcional ao seu raio externo c e inversamente proporcional ao J_{\text{total}}.

Passo 6

Determinar qual peça atinge primeiro a tensão admissível.
  • Compare os raios: c_{1}=30\\ \text{mm} (haste) e c_{2}=45\\ \text{mm} (tubo).
  • Como \tau_{i}=\dfrac{T\,c_{i}}{J_{\text{total}}}, para um mesmo T a peça com maior c terá maior \tau. Logo o tubo (com c_{2}=45\\ \text{mm}) alcançará \tau_{\text{adm}} antes da haste.
  • Portanto a condição limitante é \tau_{2}=\tau_{\text{adm}}=75\\ \text{MPa}.

Passo 7

Calcular o maior torque T impondo que o tubo atinja exatamente \tau_{\text{adm}}.
  • A equação é
\tau_{\text{adm}}=\frac{T\,c_{2}}{J_{\text{total}}}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{total}}}{c_{2}}.
  • Substituindo os valores (usar unidades coerentes: \tau em \text{N}/\text{mm}^{2}, J em \text{mm}^{4}, c em \text{mm} => T sai em \text{N}\cdot\text{mm}):
T=\frac{75\\ \text{N}/\text{mm}^{2}\times 4{,}078\,279\\ \text{mm}^{4}}{45\\ \text{mm}}.
  • Faça a conta:
\frac{4{,}078\,279}{45}=90{,}628{,}422\\ \text{mm}^{3}\quad(\text{aprox.}),
T\approx 75\times 90{,}628{,}422=6{,}796{,}131{,}65\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Converter para \text{N}\cdot\text{m} dividindo por 1000:
T\approx 6{,}796{,}13\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 6,80\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 8

Verificação: tensão resultante na haste com esse T.
  • Usando \tau_{1}=\dfrac{T\,c_{1}}{J_{\text{total}}} com c_{1}=30\\ \text{mm}:
\tau_{1}=\frac{6{,}796{,}132\\ \text{N}\cdot\text{mm}\times 30\\ \text{mm}}{4{,}078\,279\\ \text{mm}^{4}}\approx 50{,}0\\ \text{N}/\text{mm}^{2}=50\\ \text{MPa},
que é menor que \tau_{\text{adm}}=75\\ \text{MPa}. Então realmente o tubo é o elemento crítico e nossa solução é consistente.

Passo 9

Interpretação final e incentivo rápido.
  • Conclusão: o tubo, por ter raio maior, fica mais solicitada em cisalhamento para um mesmo torque total, apesar de ter J maior; por isso ela é a peça limitante.
  • Boa! Você viu que o método é: calcular J, usar divisão de torque proporcional a J (ou usar a forma direta \tau=\dfrac{T c}{J_{\text{total}}} para peças ligadas), e impor \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}}. Com isso dá pra resolver rapidinho na prova se organizar os passos.

Resposta

T_{\max}\approx 6{,}80\\ \text{kN}\cdot\text{m}

Exercícios relacionados