3.20 A haste sólida
tem um diâmetro
tubo
tem um diâmetro externo de 90 mm e parede com 6 mm de espessura. Sabendo que ambos a haste e o tubo sāo feitos de aço para o qual a tensāo de cisalhamento admissível é 75 MPa , determine o maior torque
que pode ser aplicado em
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede: determinar o maior torque
que pode ser aplicado em de modo que nenhuma peça exceda a tensão de cisalhamento admissível. - Dados fornecidos:
- A haste sólida
tem diâmetro . (dado do enunciado) - O tubo
tem diâmetro externo e espessura de parede . (peguei estes dois valores da imagem) - A tensão de cisalhamento admissível do aço é
. (dado do enunciado)
- A haste sólida
- Quantidades que precisarei calcular (listadas para não me perder depois):
- diâmetro interno do tubo
; - momentos polares de inércia à torção
da haste sólida e do tubo; - como o torque aplicado se distribui entre haste e tubo;
- o maior
que faz em ambas as peças.
- diâmetro interno do tubo
Passo 2
Conceito fundamental e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Para um eixo circular submetido a torque
, a tensão máxima de cisalhamento na superfície (em módulo) é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (em ou ), -
é o torque aplicado (em ), -
é o raio externo do elemento (em ), -
é o momento polar de inércia à torção (em ).
Explicando em miúdos:
cresce com o torque e com o raio externo e diminui se a peça tiver maior resistência à torção (maior
). Então para não romper por cisalhamento queremos
.
Passo 3
Fórmulas para
(como calcular para sólido e para tubo).
- Para um eixo circular maciço de diâmetro
:
Aqui
é o diâmetro externo.
- Para um tubo circular com diâmetro externo
e interno :
Essas fórmulas vêm da integração da distribuição circular de área; não precisa decorar profundamente agora, basta saber que
cresce com a quarta potência do diâmetro — por isso pequenas mudanças no diâmetro mudam muito a rigidez torsional.
Passo 4
Calcular o diâmetro interno do tubo e os
numéricos.
- Primeiro o diâmetro interno
do tubo: como a parede tem espessura ,
(Usei
e
que peguei da imagem.)
- Agora
da haste sólida ( ):
Calculemos passo a passo:
- Agora
do tubo ( ):
Calculemos:
- Somando os dois
(pois, como veremos, ambos trabalham sujeitos ao mesmo ângulo de torção):
Passo 5
Como o torque aplicado em
se distribui entre haste e tubo (ideia e fórmula útil).
- Se a haste e o tubo estão rigidamente ligados (mesmo ângulo de torção ao longo do trecho), ambos têm o mesmo ângulo de torção
. Para um mesmo comprimento comum, cada peça apresenta um torque interno proporcional a seu (porque e e são os mesmos). - Então os torques internos
(haste) e (tubo) satisfazem:
- A tensão máxima na haste é
onde
é o raio externo da haste:
.
- A tensão máxima no tubo (na sua superfície externa) é
onde
.
- Podemos combinar as fórmulas e obter uma expressão direta para
e em função do torque total . Usando e , obtemos:
Isto é muito prático: a tensão na superfície de cada peça é proporcional ao seu raio externo
e inversamente proporcional ao
.
Passo 6
Determinar qual peça atinge primeiro a tensão admissível.
- Compare os raios:
(haste) e (tubo). - Como
, para um mesmo a peça com maior terá maior . Logo o tubo (com ) alcançará antes da haste. - Portanto a condição limitante é
.
Passo 7
Calcular o maior torque
impondo que o tubo atinja exatamente
.
- A equação é
- Substituindo os valores (usar unidades coerentes:
em , em , em => sai em ):
- Faça a conta:
- Converter para
dividindo por :
Passo 8
Verificação: tensão resultante na haste com esse
.
- Usando
com :
que é menor que
. Então realmente o tubo é o elemento crítico e nossa solução é consistente.
Passo 9
Interpretação final e incentivo rápido.
- Conclusão: o tubo, por ter raio maior, fica mais solicitada em cisalhamento para um mesmo torque total, apesar de ter
maior; por isso ela é a peça limitante. - Boa! Você viu que o método é: calcular
, usar divisão de torque proporcional a (ou usar a forma direta para peças ligadas), e impor . Com isso dá pra resolver rapidinho na prova se organizar os passos.