Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é dado por:
sigma^2=sumi=1^n(Xi-barX)^2n ou sigma^2=1n(sumi=1^n Xi^2-n barX^2)
Sabemos que a variância amostral S^2 possui o mesmo numerador que sigma^2, só que é dividida por n-1, ao invés de n. Escreva sigma^2 como função de S^2 :

Passo 1

O exercício quer que a gente escreva o estimador de máxima verossimilhança
hatsigma^2 ;=; sumi=1^n (Xi - bar X)^2n e S^2 ;=; sumi=1^n (Xi - bar X)^2n-1 (da Normal) em função da variância amostral .
Conteúdo: estatística básica de estimadores (MLE e variância amostral).
O que precisamos: as fórmulas de

Passo 2

Primeiro, vamos entender a teoria por trás das fórmulas:
  • hatsigma^2 ;=;1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2, S^2 ;=;1n-1sumi=1^n (Xi-bar X)^2 é o MLE para a variância, divide a soma dos quadrados pelo total .
  • é a variância amostral “padrão”, que divide pelo grau de liberdade (porque ao calcular a gente “gasta” um grau de liberdade), garantindo que .
Então escrevemos:

Passo 3

Agora isolamos a soma dos quadrados usando sumi=1^n (Xi-bar X)^2 ;=; (n-1),S^2 :

Passo 4

Substituímos esse resultado na fórmula de hatsigma^2 =1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2 =1n,l((n-1)S^2r) =n-1n;S^2 :

Resposta

boxedhatsigma^2 = n-1n;S^2

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