Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é dado por:
sigma^2=sumi=1^n(Xi-barX)^2n ou sigma^2=1n(sumi=1^n Xi^2-n barX^2)
O estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é viesado, pois E(sigma^2) neq sigma^2. Obtenha o viés B(sigma^2) do estimador de máxima verossimilhança de sigma^2. Este viés é positivo ou negativo? Dessa forma, sigma^2 superestima ou subestima sigma^2?

Passo 1

Beleza, o exercício tá dizendo que, para uma amostra sigma^2 ;=; 1nsumi=1^n (Xi - bar X)^2 (ou equiva<=nte (tfrac1n(sum Xi^2 - nbar X^2))) de uma Normal, o estimador de máxima verossimilhança (MLE) da variância é
B(sigma^2) = El[sigma^2r] - sigma^2,
O que a gente precisa é achar o viés desse estimador, ou seja
El[sumi=1^n (Xi - bar X)^2r] = (n-1),sigma^2
dizer se é positivo ou negativo e concluir se superestima ou subestima .
Conteúdo que vamos usar: definição de viés de um estimador e o resultado clássico

Passo 2

Lembra que o viés de um estimador B(hattheta) = E[hattheta] - theta é
No nosso caso e . Então vamos calcular e depois subtrair .

Passo 3

Como El[sumi=1^n (Xi - bar X)^2r] = (n-1),sigma^2 , usamos o resultado
E[sigma^2] = 1n;El[sumi=1^n (Xi - bar X)^2r] = 1n,(n-1),sigma^2 = n-1n,sigma^2
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Passo 4

Agora o viés é
B(sigma^2) = E[sigma^2] - sigma^2 = n-1n,sigma^2 - sigma^2 = -1n,sigma^2
Como é negativo, isso mostra que subestima .

Resposta

, que é negativo. Portanto, o MLE subestima .

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